INFO EX II PROB. 1S1

                                              INFO   EXERCICE II     DE PROBA.     Vendredi 4   JUIN     2010

          EXERCICE II

                                                   

                           Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher numérotées 1 , 2 , 3 , 4 , 5.

                 1. On tire au hasard deux boules successivement avec remise de l'urne.

                     Quelle est la probabilité de l'événement A : " Avoir deux boules qui portent un chiffre pair."?

                 2. On tire au hasard deux boules successivement sans remise de l'urne.

                      Quelle est la probabilité de l'événement A : " Avoir deux boules qui portent un chiffre pair." ?

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          Réponse:

               1. Recherche de P( A ).

                      En fait on refait deux fois de suite un tirage d'une boule de l'urne dans les mêmes

                        conditions puisque la première boule est remise dans l'urne avant le second tirage.

                     Soit   Ω  l'univers des possibles.

                    Ω    est l'ensemble des couples de deux boules de l'urne.

                            Card( Ω ) =  5 × 5 = 25                      schéma:          |    5     |       5      |     

                                                                                                       1ère boule    2 ième boule

                      On peut aussi faire un arbre partiel pour dénombrer les éléments de  Ω .

                      On ne privilégie aucune boule.

               Donc on est dans une situation d'équiprobabilité.

               c-à-d la loi de probabilité sur Ω est la loi équirépartie.

                Cela signifie que tous les couples ont la même probabilité   1 / 25

                d'être obtenus.

               On a dans ce cas   P( A ) = Card( A ) / Card( Ω )

                                Il reste à trouver Card( A ).

                 Il n'y a dans l'urne que les boules  numérotées 2 ou 4 qui réalisent

                 l'événement A.

                C'est un dénombrement qu'il faut faire.

                                                             Schéma:          |              2         |           2                 |     

                                                                           1ère boule " paire"        2 ième boule"paire"

                  Donc , d'après le principe multiplicatif on a     2  × 2  = 4  possibilités.

                         On a :                Card( A ) = 2  × 2  = 4

                               D'où  :      P( A ) = 4 / 25

                  Conclusion :  P( A ) = 16 %

                2. Recherche de P( A ).

                           Soit   Ω  l'univers des possibles.

                             Ω    est l'ensemble des couples de deux boules distinctes de l'urne.

                            Card( Ω ) =  5 × 4 = 20                      schéma:          |    5     |       4      |     

                                                                                                       1ère boule    2 ième boule

                      On peut aussi faire un arbre partiel pour dénombrer les éléments de  Ω .

                               On ne privilégie aucune boule.

               Donc on est dans une situation d'équiprobabilité.

               c-à-d la loi de probabilité sur Ω est la loi équirépartie.

                Cela signifie que tous les couples de deux boules distinctes

              ont la même probabilité   1 / 20

                d'être obtenus.

               On a dans ce cas   P( A ) = Card( A ) / Card( Ω )

                                Il reste à trouver Card( A ).

                C'est un dénombrement qu'il faut faire.

                 Schéma:                              schéma:          |              2     |              1      |     

                                                                           1ère boule " paire"        2 ième boule"paire"

                  Donc :  Card( A ) = 2  × 1  = 2

                             P( A ) = 2 / 20 = 1 / 10

             Conclusion:  P( A ) = 10%