INFO NOTIONS SUR LES MISE EN OEUVRE DES SUITES 1S 22 MAI 2010
Problème
On dispose de la suite récurrente ( u ) définie sur IN par :
u0 = - 4
un + 1 = ( 1 / 4 ) un + 3 pour tout n dans IN.
D'autre part on dispose de la suite ( v ) définie sur IN par:
vn = un - 4 pour tout n dans IN.
Le but du problème est de calculer finalement la somme Sn des n + 1
premiers termes de la suite ( u ).
Mais la suite ( u ) n'est pas géométrique ni arithmétique.
Aussi pour y parvenir on montre que la suite ( v ) est géométrique , ce qui permet
trouver la somme des n + 1 premiers termes de la suite ( v ) , que l'on note sn ,
On en déduit alors Sn .
1. Calcul de u1 , u2 , u3 .
On a: u1 = ( 1 / 4 ) u0 + 3 et u0 = - 4
Donc: u1 = ( 1 / 4 )× ( - 4 ) + 3 = - 1 + 3
u1 = 2
On a: u2 = ( 1 / 4 ) u1 + 3
Donc: u2 = ( 1 / 4 ) × ( 2 ) + 3 = 3 , 5
u2 = 7 / 2
On a: u3 = ( 1 / 4 ) u2 + 3
Donc: u3 = ( 1 / 4 ) × ( 7 / 2 ) + 3 = 7 / 8 + 3
u3 = 31 / 8
2. Exprimons vn + 1 en fonction de vn .
Soit n dans IN.
On a : vn + 1 = un + 1 - 4
Or un + 1 = ( 1 / 4 ) un + 3
Donc vn + 1 = ( 1 / 4 ) un + 3 - 4
c-à-d vn + 1 = ( 1 / 4 ) un - 1
Mais un = vn + 4
D'où vn + 1 = ( 1 / 4 ) ( vn + 4 ) - 1
c-à-d vn + 1 = ( 1 / 4 ) vn + 1 - 1
Ainsi : vn + 1 = ( 1 / 4 ) vn
Conclusion: vn + 1 = ( 1 / 4 ) vn pour tout n dans IN
b.Déduisons que la suite ( v ) est géométrique.
On a : vn + 1 = q vn pour tout n dans IN.
Conclusion: La suite ( v ) est bien géométrique de raison q = 1 / 4.
On a : v0 = u0 - 4
c-à-d v0 = - 4 - 4 = - 8
Conclusion: son premier terme est v0 = - 8
c. Ecrivons vn et un en fonction de n.
On a : vn = v0 qn pour tout n dans IN.
Ainsi :
Conclusion: vn = - 8 × ( 1 / 4 )n pour tout n dans IN .
3. Donnons les limites des suites ( v ) et ( u ).
On a : 0 < 1 / 4 < 1
Donc lim ( 1 / 4 )n = 0
n → + ∞
Ainsi : lim - 8 ×( 1 / 4 )n = 0
n → + ∞
Conclusion: lim vn = 0
n → + ∞
On a : un = 4 + vn pour tout n dans IN.
De plus : lim ( 4 + vn ) = 4 + 0 = 4
n → + ∞
D'où :
Conclusion: lim un = 4
n → + ∞
On dit que la suite ( v ) converge vers 0 et que la suite ( u ) converge vers 4.
4. Exprimons sn et Sn en fonction de n.
La raison de la suite géométrique ( v ) n'est pas égale à 1 .
C'est q = 1 / 4 .
On a : v0 = - 8
Soit n dans IN quelconque .
sn est la somme des n + 1 premier termes de la suite géométrique ( v ).
Ainsi on a :
sn = v0 ( 1 - qn + 1 ) / ( 1 - q )
c-à-d
sn = - 8 ( 1 - ( 1 / 4 )n + 1 ) / ( 1 - ( 1 / 4 ) )
c-à-d
sn = - 8 ( 1 - ( 1 / 4 )n + 1 ) / ( 3 / 4 )
c-à-d
sn = - 8 ( 4 / 3 ) ( 1 - ( 1 / 4 )n + 1 ) = - ( 32 / 3 ) ( 1 - ( 1 / 4 )n + 1 )
Conclusion: sn = ( 32 / 3 ) ( ( 1 / 4 )n + 1 - 1 )) pour tout n dans IN.
Mais :
un = 4 + vn pour tout n dans IN.
Donc
u0 + .........+ un = ( 4 + v0 ) + ( 4 + v1 )+ ...... + ( 4 + vn )
D'où
Sn = 4 × ( n + 1 ) + sn
Conclusion: Sn = 4 ( n + 1 ) + ( 32 / 3 ) ( ( 1 / 4 )n + 1 - 1 )) pour tout n dans IN.
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