DS n° 4 21/12/13 TS1

                 DS n° 4              21 /12/13      3 h    TS1

         EXERCICE 1   ( D'après  Bac S     )

                  On considère la suite ( un ) définie par :

                                                         U0

                                                          Relation1 de recurrencepour u

            1. a.Calculer u1 et u2 .                         

                b. Démontrer, par récurrence, que :

                            Un strict positif

                    2. On admet que:

                                                Inegalite

                       a. Démontrer que la suite ( un )  est croissante. 

                       b. Démontrer que la suite( un )  converge.                      

                    3. Soit la suite ( vn )  définie par :

                            Suitevn 2

                      a . Montrer que la suite( vn ) est géométrique.                            

                      b. Exprimer vn  en fonction de n  pour tout entier naturel n  .                                   

                      c.   En déduire que :

                                            Unenfoncden

                     d. Détrminer la limite de la suite  ( un ).           

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             EXERCICE  2    ( Extrait Bac   )

             Partie A

              On considère, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante:

                          ( E ) :  z3 + 2 z 2 - 16 = 0

              1. Montrer que 2 est une solution de ( E ), puis que ( E ) peut s'écrire sous la

                  forme :

                   ( z - 2 ) ( a z 2  + b z  + c ) = 0   

                   où a , b , c sont trois réels que l'on déterminera.

              2. En déduire les solutions de l'équation ( E )  sous la forme

                  algébrique puis sous la forme exponentielle. 

           Partie B

                   Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct

                Reporth 1

              1. Placer les points A, B et D d'affixes respectives :    

                    zA  =  - 2 - 2 i                  zB  = 2            zD   =  - 2 + 2 i

              2. Déterminer l'affixe du point C de façon que le quadrilatère ABCD soit

                   un parallélogramme.

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              Partiea

              Partie B

             Soit a un éel strictement positif . Le but de cette partie est de rechercher 

            s'il existe une tangente à la courbe ( C ) de f au point d'abscisse a ,

            qui passse par l'origine du repère.

                 1. On appelle  Ta  la tangente à ( C ) au point d'abscisse a.

                    Donner une équation de Ta  .

                 2. Soit a > 0.

                     Démontrer qu'une tangente à ( C ) en un point d'abscisse

                     a strictement positive, Ta  passe par l'origine du repère

                        si et seulement si a vérifie l'égalité:                            

                   3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera

                         prise en compte dans l'évaluation.

                     Démontrer que 1 est l'unique solution sur ] 0 ; + ∞ [

                       de l'équation :                                                    1- x 2 ex-1 =0

                   4. Donner alors une équation de la tangente recherchée .    

      PARTIE C

             Le graphique ci-dessus représente la courbe ( C ) de la fonction f

               dans un repère orthonormé ( O ; vect(i ) , vect(j ) ).                

                           Courbe

                    1.Construire sur ce graphique (annexe )  la droite Δ

                        d'équation y = 2 x.     

                        On admet que la courbe de f est au dessus de la droite Δ.                                 

                    2. Déterminer deux réels c et d tels que la fonction

                           Fonch

                        définie et dérivable dans IR  admette pour fonction dérivée :

                                                        Hprim

                     3.  On pose  :  G( x ) = H( x ) + x  pour tout réel x

                             Calculer   G( 1 ) - G( 0 ).                             

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