DS n° 4 TS1 13/12/14

                                     DS  n° 4                         13 décembre 2014      TS1

     EXERCICE 1      Extrait de bac   

       On note IR l'ensemble des nombres réels et on considère la fonction f définie par :

                         f ( x ) = x e1 − x  +  1

            On note ( C ) sa courbe représentative  dans un repère orthonormé 

             Rep14df , avec 1 cm pour l'unité graphique.

      Partie A 

                               Figds3ts1dec14

        1. Déterminer la limite de f en  + ∞.

             Que peut-on en déduire pour la courbe ( C ) de f ?

        2. Déterminer la limite de f en  − ∞.

        3.  On admet que f est dérivable dans IR, et on note f ' sa fonction dérivée.

             Montrer que pour tout réel x ,  f ' ( x ) = ( 1 − x )  e1 − x   .

        4. Etudier les variations de f sur IR et dresser son tableau de variation sur IR.     

        5. Trouver l'équation réduite de la tangente (  T  ) à la courbe ( C ) au point d'abscisse 0.

        6. Déterminer les positions relatives de  ( T ) et ( C ).

        7. Montrer que l'équation f( x ) = 0 admet une unique solution α dans IR.

              Justifier que  − 1 <  α < 0.

        Partie B

      1 . Soit la fonction   h: x →  x e1 − x    qui est définie et dérivable sur  IR .

            Montrer que la fonction H : x  →   ( - 1 - x )  e1 − x      

            a pour fonction dérivée la fonction h.

       2. Soit n dans IN quelconque.

           On pose:      An = H( n ) − H (  0 ) 

           Calculer   An  .

      3. Montrer que :   lim  An = e 

                                      n → + ∞

 ----------------------------------------------------------------------------------------------------

     EXERCICE 2

          Partie A

             1 . Etablir à l'aid de l'étude d'une fonction que : ex ≥ 1 + x    pour tout x dans IR.

             2. En déduire les variations de la fonction  k : x → ex  − ( 1  +  x +   x2 / 2  )   .

                       Quel est le signe de k sur IR  ? 

             3. Etablir alors que la fonction  g : x   : x → ex  − ( 1  +  x +  x2 / 2  +  x3 / 6  )

                   est positive sur l'intervalle  [ 0 , + ∞ [  .

             4. En déduire  que :

                 1  +  x +  x2 / 2  + x3 / 6   ≤   ex     pour tout x dans l'intervalle  [ 0 , + ∞ [  ?

     Partie B      

         Soit:

                M457kjh785hy

           On  pose: 

                     3578954mlopki

          Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.

          Cab1145dfg.   

          1. Donner l'affixe du point 

                 0m478 .

          2. Déterminer la distance 

               Fg45lkj4789kh .

          3. Trouver les limites des suites 

              S14fd578ert359.

          4. Que peut-on dire du point

                M654kjh4789nvbg

            quand Nn45789  tend vers + ∞ ?

-----------------------------------------------------------------------