DV n° 7 TS1 12 janvier 2013

                 Devoir n° 7    TS1    donné le 22 décembre 2012  pour le 12 janvier 2013             

            EXERCICE 1

              Soit la fonction

                    k5.png

           1. Donner son domaine de définition D.                                      

           2. Etablir que : f( x ) × f( - x) = - 1  pour tout x dans D.  ( 1 )                                           

           3. Trouver la limite de f en + ∞.

                Déduire alors de ( 1 ) la limite de f en - ∞.   

           4. Etablir que la droite  Δ  : y = 2 x est une asymptote pour

              la courbe de f en + ∞.

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        EXERCICE 2

                    En cours ,on a démontré  l'inégalité: 

                            m15.png

          1. Déterminer le sens de variation de la fonction

                     m14.png   

                     sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

          2. Calculer g( 0 ). 

               Donner le signe de g( x ) pour tout réel x positif.

          3. En déduire que :  

                           m17.png

          4. Déterminer la limite en  + ∞  de la fonction:

                          m16-1.png        

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        EXERCICE 3

          1.Soit la fonction numérique définie sur IR par:

                            defdef.png

               Est-elle continue en 0 ?                     

        2. Soit la fonction numérique définie sur IR par:                         

                 fonctiong.png

             Est-elle dérivable en 0 ?

                           On rappelle que:

                         nomb.png

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     EXERCICE 4

         On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ par

                              f( x ) = √x  e1 - x    

        1.  f est-elle dérivable sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ ?

             On note f ' sa fonction dérivée.

             Le plan est rapporté à un repère orthonormal

            repere-orthonormal-ex-1.jpg

            Soit ( C ) la courbe représentative de f.

       2. Déterminer la limite de f en + ∞ .

         ( On pourra pour cela justifier et exploiter l'écriture,

            pour tout x réel strictement positif ,  f( x) = ( e / √x ) ( x / ex  )   )

           Interpréter graphiquement le résultat.

       3. Pour tout élément  x de ] 0 , + ∞ [ , calculer f '( x ).

       4. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f.

       5. Tracer la courbe ( C )  . ( unités graphiques : 2 cm )

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     EXERCICE 5

                Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

                Soit A le poi,t d'affixe - i et B le point d'affixe 2.

                Soit z un nombre complexe autre que 2.

                Soit  :

                     quo.png

           1. On note x et y les parties réelles et imaginaires respectivement de z.

                 Donner en fonction de x et y les parties réelles et imaginaire de Z.

           2. Déterminer l'ensemble ( E ) des points M du plan d'affixe z tels que | Z | = 1

           3. Déterminer l'ensemble ( G ) des points M du plan d'affixe z tels que Z soit un réel.

                   On représentera chacun des ensembles.

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     EXERCICE 6

                      On se propose d'étudier la suite ( un ) définie sur l'ensemble

                      des entiers naturels IN par:

                                u0  = 1  

                             suiteu.png

                         puis la convergence de la suite ( Sn )  définie par:

                                somme.png

                         pour tout entier n.

         1. a. Montrer que :  un  ≥ 0   pour tout n dans IN.                                       

              b. Montrer que la suite ( un ) est décroissante sur IN.         

              c. Déduire que la suite converge et trouver sa limite.                  

       2. Montrer que:

                             ega.png                                                 

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