INFO EX 5 DV n° 7 TS1 12/01/13

                   INFO   EX 5   DV n° 7  TS1  12/01/13

 

            EXERCICE 5

                Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

                Soit A le poi,t d'affixe - i et B le point d'affixe 2.

                Soit z un nombre complexe autre que 2.

                Soit  :

                     quo.png

           1. On note x et y les parties réelles et imaginaires respectivement de z.

                 Donner en fonction de x et y les parties réelles et imaginaire de Z.

           2. Déterminer l'ensemble ( E ) des points M du plan d'affixe z tels que | Z | = 1

           3. Déterminer l'ensemble ( G ) des points M du plan d'affixe z tels que Z soit un réel.

                   On représentera chacun des ensembles.

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             REPONSE:

    1. Donnons les parties réelles et imaginaire de Z.

                   k0.png    ( 1 )
                      Maintenant seulement on pose z = x + i y.
                      Ainsi   |z|2  =  x2  + y2
                      On reporte dans l'égalité ( 1 ) .
                      Il vient:  
              k1.png
              Conclusion:
                                 
       2.  Déterminer l'ensemble ( E ) des points M du plan d'affixe z tels que | Z | = 1.

                             | Z | = 1    
                 
                      se traduit par :

                    k3.png
                c-à-d
                              | z - ( - i ) |  = |  z - 2 |

                      Cela se traduit géométriquement par:  
                                         AM = BM  
                       où M est un point d'affixe z.

                Conclusion:
                            
                L'ensemble ( E ) cherché est la médiatrice du segment [AB].
 
       3.  Déterminer l'ensemble ( G ) des points M du plan d'affixe z tels que Z soit un réel.
        
                                        Z  est  un réel   
                 se traduit par :
                                     Im(Z ) = 0 
                  c-à-d
                                        k4.png
                        c-à-d
                                              x - 2 = 2 y
                                              et
                                            ( x , y ) ≠ ( 2  ; 0)
                         c-à-d
                                          y =  0,5 x - 1
                                           et
                                           ( x , y ) ≠ ( 2  ; 0)
 
                     Conclusion:
                                           L'ensemble G cherché est  la droite d'équation 
                                            y =  0,5 x - 1   privée du point B( 2).

                   Comme le point A( 0 ; - 1 )  a ses coordonnées qui vérifient cette équation

                    on peut dire que :  ( G ) = ( AB) - { B}
 
           Figure:

                                          k6.png
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