INFO EX 1 DV n° 6 TS1 13 déc. 2014

                       INFO  EX1      DV n° 6          Maison     du 13 décembre 2014

        EXERCICE 1 

               Soit la fonction f : x→ cos( 3 x ) + 1

        7nk

 1. Etudions la parité de f.

       •  f est définie sur IR qui est symétrique par rapport à 0.

             Pour tout x dans IR     − x   est dans IR

       •  Soit x dans IR.

          On a :   f (  − x ) = cos ( 3 ( − x ) ) + 1 =  cos (  −  3 x ) + 1  

          c-à-d  comme  cos est une fonction paire

                  f ( − x ) = cos ( 3 x ) + 1 = f ( x )

             c-à-d

              f (  − x ) = f ( x )       pour tout x dans IR

            Conclusion :  f est une fonction paire.

    2. Soit T =  2π / 3 . Calcul de f( x + T ).

       Soit x dans IR.

       On a :  f( x + 2π / 3 ) = cos( 3 (  x + 2π / 3 ) ) + 1 =  cos( 3 x + 2π  ) + 1

        c-à-d  comme cos est une fonction périodique de période  2π 

             f ( x + 2π / 3 )   = cos ( 3 x + 2π  ) + 1  =  cos ( 3 x ) + 1 = f ( x )

           Conclusion : f ( x + T ) = f( x ) pour tout x dans IR

           On aurait de même:        f ( x − T ) = f( x )    pour tout x dans IR

            La fonction f est périodique de période T .

     3. Etude des variations de f sur l'intervalle [ 0 ,  π / 3  ].

        Il est logique de limiter l'étude des variations de f à cet intervalle.

        En effet :

        •Comme f est périodique de période T = 2π / 3 on peut n'étudier f que sur

         un intervalle d'amplitude T=  2π / 3.

        Or [ − π / 3 ,  π / 3  ]   est d'amplitude T =  2π / 3.

       • De plus f est paire donc il est judicieux de n'étudier f que sur les réels

        positifs de cet intervalle c-à-d sur l'intervalle  [ 0 ,  π / 3  ].

        f est définie et dérivable dans cet intervalle.

     Soit x dans IR.

             On a :  f ' ( x ) = − 3 cos' ( 3 x )  =  − 3 sin ( 3 x )      

            ( Rappel  cos ' = - sin    sur IR )

    Faisons  un tableau pour le signe de f ' ( x ).

x   0                  π / 3  
3 x    0          +         π
sin( 3 x )    0         +           0
f ' ( x )              −  

            Donc le tableau de variation de f est :

x  0                   π / 3   
f ' ( x )   0           −         0
f ( x )   2            ↓        0

   Conclusion : f est strictement décroissante sur l'intervalle [ 0 ,  π / 3  ].

     4.Tableau de vatiation sur l'intervalle [ −  π / 3  ,  π / 3  ].

          Comme la fonction f est paire on déduit que le tableau de variation est :

x  − π / 3               0                   π / 3   
f ' ( x )    0          +          0            −         0
f ( x )  0              ↑          2             ↓         0

           Dans un repère au moins orthogonal l'axe des ordonnées est un axe de symétrie.

          de la courbe de f.

          Sur l'intervalle [   −  π  ,  π  ] : 

            En raison de la période T , le comportement de f sur l'intervalle [   π / 3  ,  π  ]

            comme sur l'intervalle [  −  π ,    −  π / 3  ], sera celui de f sur l'intervalle  [ −  π / 3  ,  π / 3  ].

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