INFO EX 1 DV n°7 TS1 22 janv. 2014

                           INFO   DV n° 7          du 22  janvier 2014   TS1 

    EXERCICE 1

      1. Montrons que 0 est l'unique solution de l'équation e^{2 x} = 1.

               e^{2 x} = 1   s'écrit    e^{2 x} = e⁰  

      c-à-d     d'après  le cours

                     2 x = 0

      c-à-d   

                         x = 0 

      Conclusion:

                   Oui.  0 est bien l'unique solution de  l'équation e^{2 x} = 1.

       Autre présentation :

              • Existence :   0 est une solution.

                En effet:      e^{2× 0} =  e⁰  = 1

               • Unicité. 

                      La fonction    x  → e^{2 x}    est la composée des fonctions 

                       x → 2x    et  x  → e ^x     qui   sont toutes les deux définies

                      et strictement croissante sur IR.

                   Donc la fonction    x  → e^{2 x}    est stictement croissante sur IR.

                      Elle ne peut donc prendre qu'une seule fois la valeur 1.                   

           Conclusion:

                   Oui.  0 est bien l'unique solution de  l'équation e^{2 x} = 1.  

         2.  Montrons que la fonction g : x → x e^x + 1  est minorée par  1 - 1 / e sur IR.

               Par exemple on peut avoir l'idée de montrer en étudiant ses variations

               qu'elle admet un minimum  1 - 1 / e  en un certain x₀ .    

              Etudions donc succinctement ses variations.

              g est définie et dérivable sur IR comme somme et produit de telles fonctions.

             g ' : x → 1 e^x + x e^x   

             c-à-d    

               g ' : x → (1 + x ) e^x 

             Comme exp >0  sur IR  g ' ( x ) est du signe de 1 + x .

                  g ' > 0 sur ] - 1 , ∞ [

                  g ' < 0 sur ] - ∞ , -1 [

                  g ' ( - 1 ) = 0

          Tableau de variation:

                        g( - 1 ) = - e^{- 1} + 1

                      D'après le tableau de variation g admet bien   - e^{- 1} + 1

                      comme minimum sur IR en x = - 1.                     

                  Conclusion :  g est minorée par  - e^{- 1} + 1 sur IR.

      3. Soit la fonction :                        

          a . Etudions ses variations.

                    h est définie et dérivable sur IR comme somme de telles fonctions

                    h ' : x → 1 - e^x    

                   On a :

              Tableau de variation:

                b. Montrons que l'équation

                      admet dans chacun des intervalles [ - 2 ; - 1 ] et [ 1 ; 2 ] une seule  

                      solution,  que l'on notera  α et  β   respectivement.

                      Donnons un encadrement de  α et  β  d'amplitude inférieure à 10 ^{- 2} .

                  • Sur [ - 2 ; - 1 ].

                      h est définie, continue ( car dérivable) , strictement croissante sur [ - 2 ; - 1 ].

                                 h ( - 2 ) = - e^{- 2}         négatif

                                 h( - 1 ) = 1 - e^{- 1}      positif

                    0 est bien compris entre     h ( - 2 )   et      h ( - 1 ).

                   Donc:

                     D'après le Th de la bijection:

                  Conclusion :       l'équation h( x ) = 0 admet 

                    une unique solution α  dans l'intervalle  [ - 2 ; - 1 ].

                 • Sur   [ 1 ; 2 ].

                     h est définie, continue ( car dérivable) , strictement décroissante sur [ 1 ; 2 ].

                      h ( 1 ) = 3 - e       positif

                       h( 2 ) = 4 - e²       négatif

                      0 est bien compris entre     h ( 2 )   et      h ( 1 ).               

                   Donc:

                     D'après le Th de la bijection:

                  Conclusion :       l'équation h( x ) = 0 admet 

                    une unique solution β  dans l'intervalle  [ 1 ; 2 ].

               •  Utilisons la dichotomie pour encadrer α  et β.

                      Avec le programme DICHO

                     Prendre MODE avec trois décimales.                      

                                      - 1,844   ≤   α  ≤  - 1,836

                                       1,141    ≤   β  ≤ 1,148 

              c. Pour tout x dans IR donnons le signe de:

                   •  Sur l'intervalle ] - ∞, 0 ]   h est strictement croissante.

                      Elle s'annule une seule fois en α. 

                      Donc:    h > 0   sur   ] α , 0 ]   

                                   h < 0   sur   ]  - ∞, α [          

                  •  Sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [   h est strictement décroissante.

                      Elle s'annule une seule fois en β .                             

                            Donc:    h > 0   sur    [ 0 , β [

                                        h < 0   sur    ]  β , + ∞ [

                    Conclusion:   

            3.   On considère la  fonction définie suivante:

                   a.  Est-elle définie sur IR ? ( Justifier )

                           Regardons si    x e^x  +1  peut s'annuler dans IR.

                          La fonction  g: x →  x e^x + 1  déjà rencontrée est minorée sur IR

                            par 1 - 1 / e.

                          Or     1 - 1 / e > 0 

                          Donc    g( x ) ≠ 0  pour tout x dans IR.

                         c-à-d      x e^x  + 1 ≠ 0  pour tout x dans IR.

                                   Conclusion: f est bien définie sur IR.          

                        b. Donner sa limite en  + ∞ . 

                               Que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ( C ) ?

                              + ∞  est une extrémité de l'intervalle de définition.

                              On peut faire la recherche.

                               Pour ne pas avoir une forme indéterminée nous devons

                                 modifier l'écriture  de f.

                                On a :

                                 Passons à la limite:

                                 D'après le cours:

                          Conclusion:    lim f = 0

                                               x  → + ∞

                           L'axe des abscisses est une asymptote en + ∞ à la courbe ( C ) de f.

                      c. Donnon sa limite en - ∞ .

                          Que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ( C ) ?

                             - ∞  est une extrémité de l'intervalle de définition.

                              On peut faire la recherche.

                           D'après le cours:

                            Ainsi :

                       Conclusion:

                                          lim f = - 1

                                         x →  - ∞

                                La droite d'équation y = - 1 est une asymptote horizontale à

                                  la courbe ( C ) de f en   - ∞

               d . Trouvons l'expression de sa fonction dérivée.

                              f = u / v     avec    u : x → e^x - 1   et  v → x e^x +1

                          Le fonctions u et v sont définies et dérivable sur IR comme somme et

                          produit de tells fonctions. v n s'annule pas sur IR

                          La fonction u / v c'est-à-dir f est donc dérivable sur IR.

                          De plus on a :  

                            avec     u  ' : x → e^x

                               et      v '  : x →  1 e^x   + x e^x     c-à-d      v '  : x → ( 1 + x )  e^x   

                            Ainsi:

               e.  Montrons que :

                          Comme   exp > 0 sur IR  et 

                          ( x e^x + 1 )²     pour tout réel x

                         on a :

                     Conclusion:

                f. En déduire le sens de variation de la fonction

                                       .

                    D'après la question 3.c et la précédente on a :

                    Conclusion:

                4. Résolvons dans IR l'équation:

                     On a :

                     Ainsi:

                     Conclusion :  S_IR = { 0 }   

               5.  Résoudre dans IR l'équation:

                   Comme le dénominateur est non nul 

                   cette égalité se traduit par l'égalité :

                       c-à-d

                      L'équation ( 1 ) admet 1 comme racine évidente

                          car 1 + 1 - 2 = 0

                        L'autre racine est donc  c / a =  - 2 / 1 = - 2

                        - 2 est à rejeter pour X  car X > 0

                      Concsidérons:

                            X = 1  

                       c-à-d  

                              e^x = 1

                           c-à-d 

                           x = 0

                       Conclusion :  S_IR = { 0 }   

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