INFO EXERCICE 2 DS n° 4 Samedi 22 décembre 2012
EXERCICE 2 Bac extrait
1. Donner les formes exponentielles des affixes des points A , B , C
sachant que : zA = 2
zB = 1 + i √3
zC = 1 - i √3
Il peut être important de noter tout de suite que
Les arguments des nombres complexes non nuls
zB et zC seront donc opposés.
Ceci est utilisable directement dans un exercice.
b. Plaçons les points A , B , C.
2. Déterminons les formes exponentielles des nombres complexes.
• Pour le produit:
On peut dire:
Ou alors on peut détailler en disant:
Comme les trois nombres complexes multipliés ont chacun
un module égal à 2 on a obligatoirement le module du produit
qui est 2 × 2 × 2 = 8 .
• Pour le quotient:
• Pour le quotient:
3. Déterminons l'ensemble ( D ) des points M(z) du plan
tels que | z | = | z - zA |.
L'idée, déjà rencontrée, est de privilégier l'apparition
de modules de différences de nombres complexes car on peut les
interpréter comme des distances.
Ce qui est utile en géométrie.
L'égalité donnée s'écrit ainsi : | z - 0 | = | z - zA |
c-à-d OM = A M
L'ensemble cheché est le lieu des points M situés à égale distance
des points O et A.
Donc:
Conclusion:
L'ensemble cherché est donc la médiatrice du segment [OA].
4. Résolvons l'équationdans l'ensemble des nombres complexes:
L'égalité donnée s'écrit :
z ≠ 2 et z ( z - 2 ) = - 4
( Attention à la condition pour avoir l'équivalence )
c-à-d
z ≠ 2 et z2 - 2 z + 4 = 0
( Attention: z2 - 2 z + 4 n'est pas un carré parfait
Par contre z2 - 4 z + 4 l'est )
Considérons:
Δ ' = b'2 - ac
c-à-d Δ ' = 1 - 4 = - 3
Les solutions :
( Attention à regarder si elles respectent la condition )
( - b' - i √| Δ ' | ) / a = 1 - i √ 3 = zC convient
( - b' + i √| Δ ' | ) / a = 1 + i √ 3 = zB convient
Conclusion: S = { 1 - i √ 3 ; 1 + i √ 3 }
--------------------------------------------------------------------------------------