INFO EX 4 DV n° 7 TS1 12 / 01/ 13

      EX 4     DV n° 7    TS1     12 janvier 2013

     EXERCICE 4

         On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ par

                              f( x ) = √x  e1 - x    

        1.  f est-elle dérivable sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ ?

             On note f ' sa fonction dérivée.

             Le plan est rapporté à un repère orthonormal

            repere-orthonormal-ex-1.jpg

            Soit ( C ) la courbe représentative de f.

       2. Déterminer la limite de f en + ∞ .

         ( On pourra pour cela justifier et exploiter l'écriture,

            pour tout x réel strictement positif ,  f( x) = ( e / √x ) ( x / ex  )   )

           Interpréter graphiquement le résultat.

       3. Pour tout élément  x de ] 0 , + ∞ [ , calculer f '( x ).

       4. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f.

       5. Tracer la courbe ( C )  . ( unités graphiques : 2 cm )

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        REPONSE:

           1. Regardons si f est  dérivable sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ ?

               f est le produit de deux fonctions définies et dérivables sur ] 0 , + ∞ [.

              En effet:

               • x → √ x    est définie et dérivable sur ] 0 , + ∞ [

              •   x → e1 -  x        est définie et dérivable sur ] 0 , + ∞ [ 

               car la fonction u :   x → 1 - x  l'est .

         2. Déterminer la limite de f en + ∞ .

             Soit x > 0

             On a :

             f( x ) = √ x    e1 -  x    =  ( x  / √ x   )  e  e- x  =  ( x  / √ x   ) × (  e /  e x   ) 

             c-à-d 

             f( x ) =  ( e / √x ) ( x / ex  )

           Mais:      lim e / √x  = 0 

                          x → + ∞

            et     lim   x / ex    = lim  1 / ( ex / x ) = 1 / (  + ∞ ) =  0

                   x → + ∞               x → + ∞ 

                 car d'après le cours    lim   ex / x    =   + ∞

                                                            x → + ∞

         Ainsi :   lim f(x ) = 0 × 0 = 0

                         x → + ∞

            Conclusion :    lim f = 0

                                          + ∞

          On peut dire que la courbe de f admet l'axe des abscisses

           comme asymptote horizontale en + ∞.

       3. Pour tout élément  x de ] 0 , + ∞ [ , calculons f '( x ).

            D'après la formule de dérivation d'un produit:

         Soit x > 0

           On a :

       f '( x ) = ( 1 / (  2 √ x  ) ) e1 -  x     - √ x    e1 -  x    =   e1 -  x (  1 / (  2 √ x  ) -  √ x   )

  c-à-d   ( en réduisant au même dénominateur )

         Conclusion:   f ' ( x ) = e1 -  x   (  1 - 2 x )  / (  2 √ x )   quand x > 0

     On constate que  f ' ( x ) est du signe de 1 - 2 x pour pout x > 0

        4.   Déduisons des questions précédentes le tableau de variation de f.

              Sur ] 0 , 1 / 2 [     f ' > 0    

             Sur   ] 1 / 2 , + ∞ [   f ' < 0

               f ' ( 1 / 2 ) = 0

x - ∞           0,5          + ∞
f '(x)       +          0        -
f( x )     ↑        f(0,5 )        ↓

     f est donc croissante sur ] 0 , 1 / 2 ]   et décroissante sur [ 1 / 2 , + ∞ [
     5. Courbe.

               k7.png

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