INFO EX2 FEUILLE 1 Fonction Exp TS Déc. 2012

      INFO EX 2   FEUILLE 1   Fonction Exp         TS    Déc 2012

          EXERCICE 2          

              Etudier le sens de variation de la fonction

                        b5.png

             AIDE:    Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

                           Alors la fonction  eu   l'est également  

                           et   (  eu   ) '  = u ' × eu  .

                         Le signe de   (  eu   ) '   est celui de u '.

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      REPONSE :  

      Soit la fonction rationnelle:

                      c7.png 

          Elle est définie et dérivable sur son domaine de définition IR*.

           Comme  f = eu    sur  IR* ,  la fonction f est définie

           et dérivable dans  IR*.

           De plus on  a   f ' = u '  eu     . 

           f ' est du signe de u '   sur   IR*.

         c8.png

        Comme   x4  > 0  pour tout x dans   IR* ,

           f ' ( x ) est du signe de ( 2 - x ) x   pour tout x dans   IR*.

          D'après la règle des signes d'un trinôme du second degré

          on a:

x - ∞      0        2     +  ∞
( 2 - x ) x       -    0   +   0     -
f '( x )        -   ||  +   ||    -
f( x )        ↓   ||   ↑    0   ↓

                  Conclusion:

   f est strictement décroissante sur les intervalles  ] - ∞  , 0 [  et   [ 2 , +  ∞ [.

    f est strictement  croissante  sur l' intervalle  ] 0  , 2 ] .

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