INFO EX3 DS n° 4 TS1 22 décembre 2012

           INFO EXERCICE 3   DS n° 4      TS1       22 décembre 2012

            EXERCICES 3

                Soit la fonction

                              z1.png   

                 sur IR.    Soit ( C ) sa courbe.                         

        1. a. Donnons le domaine de définition de f.

                   z6-1.png

                  On a :

                z2-1.png 

            b. Donnons le domaine de dérivabilité de f.

                   On a :

                                 f = √u       avec     u : x  → x2 - 1

                   u est une fonction définie et dérivable  et strictement positive

                     sur    ] - ∞ , - 1[ U ] 1 , + ∞ [ .

                    Donc la fonction √u   c'est-à-dire f est définie et dérivable 

                      sur    ] - ∞ , - 1[ U ] 1 , + ∞ [ .

                     Conclusion :

                         Df  =  ] - ∞ , - 1[ U ] 1 , + ∞ [ .

                On a :   

                                z3.png

                 Remarque:

                     En - 1 à gauche la limite de f ' est - ∞.       - 1 / 0+   =   - ∞  

                    En  1 à droite  la limite de f ' est + ∞ .           1 / 0+   =   + ∞    

                    Ainsi aux points d'abscisses - 1 et 1 la courbe de f 

                      admet des demi-tangentes verticales.               

      2.  Donnons le tableau de variation de f.

               On a:

                 z4.png

             Donc  
                z5-2.png

            Ainsi on a:

                 z7.png   

        3. Trouvons les limites éventuelles de la fonction f en - ∞  et +∞  .

              - ∞  et +∞  sont des extrémités des intervalles de définition.

             Donc on peut faire cette recherche.

        z8.png

        z9.png

       Attention:   x2     a  comme limite + ∞   quand x tend vers - ∞ et

       quand x tend vers + ∞.

     4. a. Regardons si la droite D : y = x est une asymptote oblique

              de ( C ) en  + ∞.

           z10-1.png

              Conclusion: 

                   OUI.  La droite D : y = x est bien une asymptote oblique 

                  pour la courbe ( C ) en  + ∞.

             b. Regardons si ( C ) admet une asymptote verticale.

                   Non. La courbe de f n'admet pas d'asymptote verticale.

                   En effet:

                 Les deux intervalles du domaine de définition de f ,  ] - ∞  , - 1] et  [  1 ,  + ∞ [, 

                 n'ont pas d' extrémité réelle non comprise.

                 Ainsi il n'existe pas de réel a tel que f( x ) deviennent infinie quand x tend

                vers a . 

          5. Regardons si la fonction g est continue en 0.

                        z18-1.png

               • La fonction g déjà est définie en 0 car g( 0 ) = - 1.

               • Regardons si nous avons aussi:

                                z11.png

                  Soit x ≠ 0.

                  On a :

                                 z12.png

                   Or  le nombre dérivé de la fonction Exp en 0 est 1.

                   c-à-d 

                              Exp' ( 0 ) = 1

                   c-à-d

                         z13.png

              Ainsi:

                     z15.png 

              Comme  

                              z11.png

                On a :

                Conclusion :

                   OUI .

                   g est bien continue en 0.

                 Attention: Il est inutile et beaucoup plus compliqué 

                  d'étudier la dérivabilité de g en 0. 

                 Montrer que

                     z16.png    z17.png

                 est un réel  c'est établir que g est dérivable en 0

                   c'est-à-dire prouver l'existence de g '(  0 ). 

                 C'est beaucoup plus fort que de prouver la continuité

                 de g en O .

   6. Donnons le sens de varition de la fonction k.

                     z19.png

                  k : x → 1+ x + 0,5 x2  - ex

    La fonction k est la différence de deux  fonctions deux fois

    dérivables dans IR:

     La fonction polynôme  x → 1+ x + 0,5 x2     et  la fonction Exp

     On a:                k' : x → 1+ x - ex

     Puis                 k'' : x → 1 - ex        c-à-d    k'' : x → e0 - ex

    Soit x dans IR.

    On a:

         •    k '' ( x ) = 0       c-à-d      e0 - ex  = 0    c-à-d     e0 = ex          quand x = 0

         •    k '' ( x )  > 0      c-à-d        e0 - ex   > 0    c-à-d     e0 > ex        quand  0 > x    

          •     k''( x )  < 0       c-à-d         e0 - ex   < 0     c-à-d     e0 < ex        quand 0 < x

     Ainsi:     La fonction k ' croit sur IR-    et décroit sur IR+  . 

      La fonction k'  admet sur IR un  maximum en 0.

      Mais k '( 0 ) = 0

      Le maximum sur IR de k ' est 0, donc k' est négative sur IR.

                  On peut donc en conclure que.

      Conclusion:

                  k est décroissante dans IR.

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