INFO EX5 FEUILLE 1 FONCTION Exp TS Déc 2012

           INFO EX5  FEUILLE 1  FONCTION Exp  T S      Décembre 2012

         EXERCICE 5        

             1. Donner le sens de variation de la fonction:

                         b13.png

            2. Donner sa limite en  + ∞  et  en -   ∞.

            AIDE:   Pour le comportement en  + ∞  on pourra 

                         développer l'expression de la fonction. 

-----------------------------------------------------------------------------

   REPONSE:

             1. Donnons le sens de variation de f.

                     La fonction f est définie et dérivable dans IR comme produit

                   de telles fonctions.

                  La fonction affine v :  x → x + 1

                 La fonction composée  x  → e - x    

                avec  u : x  → - x   définie et dérivable dans IR.

                Ainsi:              f = v eu    sur IR.

               On a :               f '  = v '  eu   + v  ( u '  eu   )     

                  avec    u '  : x →  - 1     et  v '  : x →  1  

                  Soit x un réel non nul.

               On a :

                 f ' ( x ) =  1 e - x   + ( x + 1 )( - e- x  ) =  e - x   -  x e- x   -  e- x 

                c-à-d

                      f ' ( x ) = -  x e- x

                  Ainsi:            f ' ( x ) est du sige de - x 

                 f ' < 0    sur [ 0 + ∞ [     et       f ' > 0    sur   ] -  ∞ , 0 ]

                   f ' ( x ) = 0 ssi x = 0

                 Conclusion: 

                    f est strictement croissante sur l'intervalle   ] -  ∞ , 0 ].

                   f est strictement décroissante sur l'intervalle   [ 0 + ∞ [.

          2. Donnons les limite de f en  +  ∞  et en  - ∞ .

               • En   - ∞

                Soit x dans IR.

                On a :    lim ( x + 1 ) = -  ∞

                               x → - ∞

                            et    lim e- x    =    lim eX  = +  ∞

                                    x → - ∞        X → + ∞ 

               Ainsi     lim (    ( x + 1 ) e- x    ) = ( - ∞) ×  ( +  ∞ ) = - ∞

                              x → - ∞

               Conclusion: 

                                c29.png                                       

                 • En   + ∞

                  Soit x dans IR.

                   On a:      f( x ) = x e- x + e- x    = - ( - x e- x  ) +  e- x

                 Mais :

                             c26.png

                             Donc 

   c27.png

------------------------------------------------------------------------------------------------