INFO TEST 15 janv.2014 TS1

                 INFO TEST 15 janvier 2014  TS1

               Partie A.

                                    Soit la fonction    g : x → e^x  + x + 1   définie sur IR.

                1.• Etudions les variations de la fonction g.

                     #  Il est possible dans un premier temps de se dispenser de

                      chercher la fonction dérivée g ' de g.

                      En effet on peut dire que g est strictement croissante sur IR

                      car  la somme de deux fonctions strictement croissantes sur IR:

                          u:  x → x + 1    et  exp.

                      #  Sinon plus classiquement on peut dire:

                       g est définie et dérivable sur IR comme somme de telles fonctions:

                                u:  x → x + 1    et  exp

                      On a :   g ' = u '  + exp ' = u + exp 

                      Or    u ' :  x → 1

                    Ainsi:     g '  : x → e^x   + 1 

                     Comme exp > 0     sur IR,  on a   g ' >0  sur IR.

                    Conclusion : g est strictement croissante sur IR.

                   + ∞ et - ∞ sont des extrémités de l'intervalle de définition ] - ∞ ,  + ∞ [ .

                   On peut donc faire la recherche des limites éventuelles de g en  + ∞ et - ∞.

                    • En  + ∞.

                         D'après le cours    lim e^x =  + ∞   

                                                              x →  + ∞   

                       Or      lim( x + 1 ) =  + ∞   

                                x → + ∞

                     Donc    lim ( e^x + x + 1 ) = + ∞

                                       x → + ∞

                           Conclusion :       lim g =  + ∞   

                                                           + ∞

                  • En  - ∞.                  

                        D'après le cours    lim e^x =  0  

                                                              x →  - ∞

                          Or      lim( x + 1 ) =  - ∞   

                                    x → - ∞

                     Donc    lim ( e^x + x + 1 ) = - ∞

                                       x → - ∞              

                         Conclusion :       lim g =  - ∞   

                                                           - ∞

        2. Montrons que l'équation g( x ) = 0 admet sur l'intervalle [ - 2 , - 1 ] une 

               unique solution α.

                                   Utilisons le Th de la bijection.

                                   Vérifions toutes les hypothèses de ce théorème.

                                 • g est définie et continue sur IR car dérivable sur  IR.

                                   g  est donc définie et continue sur [ - 2, - 1].

                                  • g est strictement croissante sur IR .

                                  g est donc strictement croissante sur [ - 2 , - 1] .

                                  •  g( - 1 ) = e^{- 1} - 1 + 1 =  e^{- 1}    

                                        Donc:       g( - 1 ) > 0

                                     g ( - 2 ) = e^{- 2} - 2 + 1 = e^{- 2} - 1       g ( - 2 ) ≈  - 0,86

                                        Donc:       g ( -  2 ) < 0

                                  On a:     0 dans l'intervalle [ g( - 2 ) , g( - 1 ) ]

                      Alors, d'après le Th. de la bijection:

                 Conclusion :   L'équation  g( x ) = 0 admet une unique solution

                      α dans [ - 2 , - 1 ]. 

                    # Donnons un encadrement de α d'amplitude 10^{- 2} .

                                  On a par dichotomie :

                                                   - 1,281  ≤ α  ≤ -1, 273

                    3. Déterminons le signe de g( x ) sur IR.

                         La fonction g est strictement croissante sur IR.

                        g (α  ) = 0

                         Donc : 

                           Conclusion:

                                 g < 0 sur ] - ∞ , α [  

                                g >  0  sur   ] α , + ∞ [ 

                                g (α  ) = 0

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             Partie B

              Soit la fonction définie sur IR :

                     1. Montrons que pour tout réel x on a:

                         On a :    f = u / v

                        avec    u : x →  x e^x   et   v : x  →  e^x + 1

                      Les fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR comme 

                    somme ou produit de telles fonctions. v est non nulle sur IR

                     f  est donc dérivable dans IR et l'on a :

                       f '  = ( v u ' - u v '  ) / v²     avec     u ' : x →  e^x  +  x e^x    et v ' :  x  →  e^x   

                      Ainsi :

                      Soit x dans IR .

                       On a :

                  Déduisons les variations de f .

                         Comme  (  e^x + 1 )² > 0   et  e^x  > 0  pour tout x dans IR 

                        f ' ( x ) est du signe de  g( x )  pour tout x dans IR.

                         Ainsi :    f ' < sur ] - ∞ , α [    et   f ' > 0 sur ] α , + ∞ [    et g(α  ) = 0

                        Conclusion :  f est strictement décroissante sur    ] - ∞ , α ]  et 

                                                    f est strictement croissante sur   [α , + ∞ [.                         

            2. Montrons que  f( α ) = 1 + α:

                    Déduisons l' encadrement de α + 1  souhaité.

                        On a un encadrement de α:

                                            - 1,281  ≤ α  ≤ -1, 273

                          En ajoutant 1 à chaque membre il vient :

                      Conclusion :     - 0,281  ≤ α  ≤ - 0, 273

                   3.a . Donnons une équation de la tangente T à la courbe ( C ) de de f 

                             au point d'abscisse 0.

                            On a: 

                            T : y = f ' ( 0 ) ( x - 0 ) + f( 0 )

                                         Mais   f(  0 ) = 0

                        b. Donnons les positions relatives de T et ( C ).

                                 Soit x dans IR.

                          Considérons le signe de la différence f( x ) - 0,5 x.

                           On a :

                        Ainsi   f( x ) - 0,5 x est du signe de x ( e^x - 1 )  pour tout x dans IR.

                        Mais x  et    e^x - 1  s'annule en x = 0 et  sont  de même signe pour tout x dans IR.

                        Ainsi       x ( e^x - 1 ) >  0   pour tout x dans IR^*   .

                      Donc:    f (x ) - 0,5 x > 0 pour tout  x dans IR^*   .

                                         f (x ) - 0,5 x  = 0  pour  x = 0

                       Conclusion :

                   La courbe ( C ) est au dessus de T  sur   IR^*    et  l'origine est commune.

                    4. Donnons la limite de f en - ∞.

                      On d'après le cours :        lim xe^x  = 0    et       lim e^x  = 0

                                                                    x →  - ∞                       x →  - ∞

                              Donc    lim  ( xe^x  ) / ( e^x + 1)  = 0 / ( 0 + 1) = 0

                                           x  →  - ∞

                                  Conclusion :     lim  f  = 0

                                                             x  →  - ∞

                              Conséquence :   L'axe des abscisses en - ∞ est une

                                  asymptote horizontale à la courbe ( C )  de  f.

                        5. a. Donnons la limite de f en + ∞.

                                    Soit x dans IR .

                                 On peut en divisant par e^x dire :

                                    f ( x ) =  x / ( 1 + e^{- x} )

                               Or        lim e^{- x}      =   lim e^X = 0

                                            x →  + ∞       X →  - ∞

                       Ainsi           lim [   x / ( 1 + e^{- x} ) ] = + ∞ / ( 1 + 0 ) = +∞ 

                                            x →  + ∞

                        Conclusion :

                                         lim f =  +∞ 

                                        x →  + ∞

                            b. Tableau de variation:

                      c. Courbe ( C ) et tangente  T.

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                                  Partie falcultative:

      1. On montre que pour tout x dans IR^* on a:

                  Mais    lim ( e^x / x ) = + ∞    et    lim 1 / x = 0

                             x →  + ∞                             x →  + ∞

                 En passant à la limite on obtient:

              Conclusion:

                Mais  pour tout réel x on a:

             Ainsi:

               Conclusion:

     2. On en déduit que la droite d'équation y = x est

                  une asymptote  à ( C )  en + ∞.

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