DS n° 5 TS1 samedi 10 janvier 2015

                           DS n° 5           TS1  samedi 10 janvier 2015              

     EXERCICE 1

       Soit la suite ( un ) définie sur les entiers naturels non nuls par :

                1w 1

      1. Est-elle majorée par 2 ? Justifier.

      2. Soit la fonction k définie sur l'intervalle [ 1 , + ∞ [  par :

                     2w

           a.  Montrer que la fonction k est dérivable sur l'intervalle  [ 1 , + ∞ [  et que: 

                   3w

             b. Donner le sens de variation de la suite ( un ).

        3. Que peut-on en déduire pour la suite  ( un ) ? Justifier.

        4. Déterminer

                           4w

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     EXERCICE 2               

                   Les questions sont indépendantes.

                   Pour chaque question une affirmation est proposée.

                   Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

                   Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

                  Toute trace de recherche sera valorisée.

      1. Affirmation 1.

                <<  Dans l'ensemble des nombres complexes l'équation 

                                    5w

                   admet au moins une solution. >>

      2. Affirmation 2.

         << Tout suite définie sur IN , décroissante et minorée par 0 sur IN converge vers 0 . >>

      3. Affirmations 3.

                 Soit les points A et B d'affixes zA = 1 + i  et  zB = 2 i  

                 dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct.

                << L'ensemble des points M d'affixe z,  du plan, tels  que | z − 1 − i | = | z − 2 i |

                 est une droite.>>                                                                                        page 1

       4. Affirmation 4.

                   Soit f une fonction définie et dérivable dans l'intervalle [ -3 ; 2 ]

                   telle que f ( 0 ) = − 1  et dont la courbe de sa fonction dérivée f ' est:

                        6w

              <<   La tangente au point d'abscisse 0 à la courbe de la fonction f 

            passe par le point de coordonnées ( 1 ; 0 ). >>

   EXERCICE 3

         Soit la fonction g définie sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ par :

                 g( x ) = ex − x ex + 1

      1. Déterminer la limite de g en + ∞.

      2. Etudier les variations de g.

      3.Donner le tableau de variation de g.

      4.a. Démontrer que l'équation g( x ) = 0 admet sur  [ 0 , + ∞ [ une unique solution.

            On note α cette solution .

         b. A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10−2  de α.

         c. Démontrer que :

                                    7w

      5. Déterminer le signe de g( x ) suivant la valeur de x.

      6. Soit la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle  [ 0 , + ∞ [ telle que :

                                        8w

            a. Montrer que sa fonction dérivée  f ' est de même signe que g sur l'intervalle  [ 0 , + ∞ [.

            b. Donner les variations de f.

    Question s'il vous reste du temps. ( Facultative )

       7. Soit la fonction définie et dérivable dans IR suivante:

                  41w

           a. Que peut - on dire de sa fonction dérivée G '  ?

           b. Calculer G( 1,27 ) − G( 0).

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