COURS: PRIMITIVES

                                 ELEMENTS  DE  COURS           PRIMITIVES.   TS          2  Février 2013   

 

             1. Définition:

                     Soit f une fonction définie dans l'intervalle I.

                     Toute fonction F définie et dérivable sur l'intervalle I telle que F ' = f  sur I 

                    est une primitive de f.

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            2. Propriété:

                            Soit f une fonction définie dans l'intervalle I.

                      • Soient F et G deux primitives de f sur  l'intervalle I.

                         Alors il existe un réel C tel que  G = F + C   sur I.

                    •  Soit F une  primitive de f sur  l'intervalle I.

                       Pour tout réel C  

                           F + C  est une primitive de f sur I.

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              3.  Remarque:

                  On admet que toute fonction définie et continue sur

                un intervalle y admet des primitives.

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            4. Propriété.

              Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

              Soit n un entier naturel non nul.

               Alors une primitive de la fonction v25.png    est  la fonction 

                  v24-1.png

                        sur I.

            Justification:

                  La fonction

                   v24-1.png

                est définie et dérivable dans I car u l'est.

               On a : 

                v26.png

               La propriété est avérée.

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         5. Propriété:                  

                   Soit u une fonction définie, dérivable et non nulle sur un intervalle I.

                   Soit n un entier naturel tel que n ≥ 2  .

                   Alors une primitive de  la fonction

                   v27.png     

                        est   la fonction 

                          v28.png

                              sur I.

                Justification:

                    La fonction

                           v28.png

                    est définie et dérivable dans l'intervalle I car la fonction u est définie , dérivable et 

                    non nulle sur I.

                    On a :

                    v29.png

                       Le résultat est avéré.

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                6.Propriété.

                       Soit u une fonction définie , dérivable et strictement positive dans l'intervalle I.

                         Alors  une primitive de la fonction 

                              v30.png       

                        est  la fonction  ln o u   sur l'intervalle I.

              Justification:

              Comme la fonction  u est une fonction définie , dérivable et strictement positive

             dans l'intervalle I la fonction ln o u   est défnie et dérivable dans I et l'on a:

                   v31.png

                Le résultat est avéré.

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              7. Propriété .

                       Soit u une fonction définie et dérivable  dans l'intervalle I.

                         Alors  une primitive de la fonction la fonction   u ' u   est la fonction

                           v32-1.png  

                        sur I.   

             Justification:

                        Comme u est  une fonction définie et dérivable  dans l'intervalle I

                           la fonction u2  l'est aussi.

                        On a :     ( u2  ) '  = 2 u ' u

                         Donc , en divisant par 2,  on a :

                            v33.png

                             le résultat est avéré.

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                   8. Propriété:

                              Soit u une fonction définie, dérivable strictement positive dans l'intervalle I.

                              Une primitive de la fonction

                                                       v36.png

                               est la fonction

                                                       v35.png

                                  sur I.

                          Justfication:

                                      Comme la fonction u  est  définie, dérivable strictement positive

                                     dans l'intervalle I , la fonction 

                                                           v34.png

                                          est définie et dérivable dans I et l'on a :

                                           v37.png

                                     Le résultat est avéré.

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       REMARQUE:

                Soit f une fonction définie sur l'intervalle I.

                Soient F et G deux  primitive de f sur l'intervalle I.

                Soient a et b deux réels dans I.

                 Alors    F( b ) - F ( a )  = G( b ) - G ( a )

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