FEUILLE D'EX n°2 Primitives

                           INFO   FEUILLE D'EXERCICES n°2   PRIMITIVES    TS1    Janvier 2013

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      EXERCICE 15                   

          Donner une primitive  sur IR - { 2 } de la fonction:

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    REPONSE:

            On peut, au niveau existentiel, dire ( mais ce n'est pas obligatoire):

                << Comme la fonction rationnelleest définie et continue sur les intervalles de IR - { 2 }   

                         elle y admet des primitives >>      

           Donnons l'une d'elles.

                • Sur ] - ∞, 2  [

                                   Il est intéressant d'écrire:

                       Soit la fonction affine u : x →  2 - x

                        u est  définie dérivable et strictement positive.

                       On a:     u ' : x   →  - 1

                       Ainsi  :

                     Alors la fonction  admet comme primitive sur l'intervalle  ] - ∞, 2 [ 

                      la fonction    - ln o u.

                      Donc:

              Conclusion:    La fonction F : x → - ln(2 - x ) + C avec C un réel quelconque 

                       est une primitive de   sur  ] - ∞, 2 [ 

           • Sur ] 2 , +  ∞ [                                       

                         Il est intéressant d'écrire:

                     Soit la fonction affine u : x →  x - 2

                     u  est  définie dérivable et strictement positive.

                       On a:     u ' : x   →   1     

                      La fonction  admet comme primitive sur l'intervalle ] 2 , +  ∞ [ 

                      la fonction    - ln o u.                    

                 Donc:

              Conclusion:    La fonction F : x → - ln( x - 2 ) + C    avec C un réel quelconque 

                       est une primitive de   sur  ] 2 , + ∞ [ 

             On peut résumer la situation en disant que :

                 La fonction F : x → - ln( | 2 - x | ) + C    avec C un réel quelconque 

                est une primitive de  sur IR - {  2  }.

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              EXERCICE 16

                Donner sur IR une primitive de la fonction

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    REPONSE:

                  Soit la fonction trinôme du second degré  u : x → 2 x²  -  x + 1

                    a = 2   et   2 > 0

                      et      Δ = ( - 1 )² - 4 × 2 = - 7

                    Ainsi :   2 x²  -  x + 1  est du signe de a pour tout réel x

                   Donc   u > 0 sur IR

                   u est définie et det dérivable sur IR.

                 On a  :  u ' :  → 4 x  -  1

                On peut dire sur IR :

               Comme la fonction u est définie , dérivable  et strictement positive dans IR

               la fonctionadmet comme primitive sur IR la fonction   ln o u

             Donc:

             Conclusion :     F : x  →  ln(  2 x²  -  x + 1 )   +  C     avec C un réel quelconque 

                                            est une primitive de  sur IR.

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            EXERCICE 17

              Donner une primitive de la fonction  

                 sur les intervalles de 

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        REPONSE:

              Quelques informations pour la fonction tan:

           • défintionde tan:

           • La fonction tan est définie sur

               c-à-d    quand  la fonction cos ne s'annule pas.

           •  La fonction tan s'annule sur 

           c-à-d quand la fonction sin s'annule.

        •  La fonction tan est dérivable sur son domaine de définition

            comme quotient des fonction sin et cos.

         • 

            Donnons une primitive de _.

          Il est clair que sur  l'ensemble

              la fonction tan est définie , dérivable et non nulle.

              De plus:    

               Ainsi une primitive de  sur 

                    est     F = ln( | tan | ) + C avec C avec C un réel quelconque.

        Remarque:       Si l'on ne veut pas utiliser la valeur absolue il faut alors distinguer dans

                                les réels tels que tan > 0  de ceux tels que tan < 0.

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           EXERCICE 18

                   Donner sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [  une primitive de la fonction   

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              REPONSE:

                        La fonctionest défine sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ car ln l'est et 

                       x → x    y est non nulle .

                 On constate que:

                    c-à-d    f = ln ' × ln  = (1 / 2 ) × 2 × ln'  × ln

                  Ainsi une primitive de est la fonction   (1 / 2 ) ln² 

                Conclusion :

                  La fonction

                      avec C un réel quelconque est

                    une primitive de   sur l'intervalle  ] 0 , + ∞ [

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            EXERCICE 19

                   Donner sur l'intervalle ] 1 , + ∞ [  une primitive de la fonction   

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    REPONSE:

                        La fonction  est définie sur l'intervalle  ] 1 , + ∞ [   car 

                         ln x > 0 quand x > 1 .

                   c-à-d    sur ] 1 , + ∞ [

                ln étant une fonction définie , dérivable et strictement positive sur l'intervalle  ] 1 , + ∞ [

                admet  comme primitive sur  ] 1 , + ∞ [ la fonction    F: x → ln(ln(x)).

                 Conclusion:

                      F: x → ln(ln(x)) + C avec C un réel quelconque

                       est une primitive de sur l'intervalle  ] 1 , + ∞ [.

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