FEUILLE n° 1 D'EXERCICES Janvier 2013

          FEUILLE D'EX   sur la fonction ln et les primitives     n °  1      TS1   21 JANVIER 2013

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    EX1     Donner D_f  , D_d   ,   f '  pour la fonction

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     REPONSE:        f = √   o ln

        •  f est définie quand   ln( x ) est un réel positif  ou nul .

           c-à-d  quand    x ≥ 1.

          Ainsi:      D_f  = [ 1 ; + ∞ [

        •    f  n'est derivable que lorsque ln > 0 

            c-à-d   quand  x >  1.

            Donc      D_d   = ] 1 ; + ∞ [

         • Soit x > 1.  

                   On a :  

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     EX 2 

      Même question avec la fonction   

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    REPONSE :             

                                    f = ln o u 

                                      avec

              •   f est définie pour tout réel x tel que  2 - cos x > 0

                 c-à-d     cos x < 2

                 Ce qui c'est toujours le cas  puisque  

                 cosx ≤ 1  pour tout x dans IR.

                Donc:  D_f = IR

           •      La fonction

                      est définie, dérivable et strictement positive sur IR.

               Donc la fonction  ln o u  c'est -à- dire, f  est dérivable  sur IR.

               Ainsi :     D_d  = IR

           •     On a:    ( ln o u )' = u ' / u  

                     avec u ' : x →  sinx

             Ainsi :     f ' : x   →  sin x   / (  2 - cos x )  

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    EX3

     Même question avec la  fonction :

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    REPONSE:

                                    f = cos o ln

          •  f est définie pour tout réel x tel que

          c-à-d

              f est définie pour tout réel x strictement positif.

              Donc:      D_f = ] 0 , +∞ [ 

        •  Comme cos est dérivable sur IR , f est dérivable

           quand ln l'est.

           D'où f est dérivable sur   ] 0 , +∞ [ .

                           Donc :  D_d  =  ] 0 , +∞ [ 

            f ' = ( cos o ln )'  = ln'  ×  cos' o ln     sur   ] 0 , +∞ [ .

            Ainsi,  comme  cos ' = - sin    et   ln ':  x→ 1 / x

            on a :

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       EX4:

                   Même question avec 

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               REPONSE:     

                                     f = ln o u  

                                         avec

               • f est définie pour tout réel x tel que

                 Comme pour tout réel x  on a:        - 1 ≤  sin x  

                  Alors on a :        2  - 1 ≤ sin x + 2 

                  c-à-d                    0 < 1  ≤ sin x + 2

                  Ainsi f est définie sur IR.

                      Donc:     D_f = IR

            •  Comme la fonction

               est définie , dérivable et strictement positive sur IR

               la fonction ln o u  ,c'est-à-dire, f  est dérivable dans IR.

                        Donc   D_d  = IR

           •  De plus on a :    f ' = ( ln o u ) '   = u' / u

                 avec u ' : x → cos x

                Donc :

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         EX 5

          Même question avec la fonction  la fonction

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            REPONSE:

                                            f  = ln ³

        • f est définie quand la fonction ln  l'est.

          Ainsi   f est définie sur l'intervalle ] 0 , +∞ [ .

              Donc       D_f = IR

         •  f est définie quand la fonction ln l'est.

                  Donc      D_d  = IR

         •   On a:      f '  =   (   ln ³  ) '  = 3  ln'  ×  ln²      sur IR  

                  Donc :        

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   EX 6 

               Même question avec la fonction 

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          REPONSE:

                                              f = ln o u 

                                                 avec 

               • La fonction  f est définie quand 

                     Donc     D_f = ] 0 , +∞ [ 

                •   La fonction √  est dérivable sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ et la fonction polynôme

                     v: x → x² + 1 est définie , dérivable et non nulle sur IR.

                     La fonction   √   /  v    , c'est -à-dire,  u  est définie , dérivable et strictement

                    positive sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [.

                    Ainsi la fonction f est dérivable  sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [.

                   Donc :    D_d  =  ] 0 , +∞ [ 

             •   De plus  f ' = u ' / u  sur  ] 0 , +∞ [   avec 

                    pour x > 0 

                 Donc:

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    EX 7:

             Résoudre dans IN

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     REPONSE:

                L'inégalité

                s'écrit comme la fonction ln  est croissante

                sur l'intervalle ] 0 , +∞ [:

                    Or   

                  Donc:

                   Conclusion:     

                    S_n = { 0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 }

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       EX 8

                        Résoudre dans IR    ln x =  - 2

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           REPONSE:

             •  Condition initiale:

                 x > 0 

             • Soit x > 0.

                      ln x = - 2

                       s'écrit  directement:

                 Conclusion:   

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      EX 9 

         Résoudre dans IR: 

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        REPONSE:

                  • Condition initiale:

                  •   Soit x < 1.

                     se traduit par : 

                         - 2 < 1   donc   - 2 est  accepté

              Conclusion :

                          S_IR = {  -  2 }

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     EX 10

             Résoudre dans IR :

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    REPONSE:

               •   Condition initiale:

                  • Soit x > - 1.

                    s'écrit  :

                         1 est une racine évidente car 1 + 2 - 4 = 0.

                         L'autre racine est donc c / a = - 4.

                           - 4 ne respecte pas la condition.

                            1 respecte la condition

                         Conclusion:

                                 S_IR = { 1 }

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             EX 11

                  Résoudre dans IR :

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            REPONSE:

       • Condition initiale:

           •  Soit  x > 1.

                  s'écrit directement :

                      x < 0   ne respecte pas la contion initiale.

                      x > 4   respecte la condition initiale.

                     Donc :

                    Conclusion :     S = ] 4 , + ∞ [ 

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   EX12

                Résoudre dans IR× IR   le système suivant:

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           REPONSE:

                         Remarquons que l'on peut permuter x et y.

                        Le système est symétrique en x et y.

           • Condition initiale:

                  x > 0  et   y > 0

           • Soit      x > 0  et   y > 0

                Le système

              s'écrit:

                       c-à-d

                                x et y sont les solutions de l'équation du second degré:

                          Comme 2 > 0  et 3 >0 les valeurs conviennent

                          Le problème étant symétrique on accepte

                              ( 2 ; 3 ) comme aussi ( 3 ; 2 )

                      Conclusion:  S_IR² = {   ( 2 ; 3 ) , ( 3 ; 2 ) }

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      EX13

             Soit la fonction f définie sur les réels positifs par:

           Donner son domaine de dérivabilité et sa fonction dérivée.

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    REPONSE:

                • f est définie sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                • ¤ La restriction de f à l'intervalle ] 0 , + ∞ [  est

                   Elle est dérivable sur  ] 0 , + ∞ [ comme produit 

                   de deux fonctions définies et dérivables dans  ] 0 , + ∞ [.

                  ¤ Regardons si f est dérivable en 0( à droite).

                     Soit x > 0.

                          Considérons:

                          Or     lim x ln x  = 0    (  cours )

                                  x → 0

                      D'où       lim ( 2 x ln x   - x ) = 0

                                     x  → 0

                  Ainsi :      

                     Le nombre dérivé de f à droite est 0.

                      Conclusion:  f est dérivable sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                • Calcul de la fonction dérivée su l'intervalle ouvert  ] 0 , + ∞ [.

                       f = u × v

                     Donc    f ' = u '  × v  +  u  × v '

                            avec   u ' : x → 2 x    et    v ' : x  → 2 / x

                       Ainsi:

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     EX14

                Même question avec la fonction f définie sur IR par:

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    REPONSE:

               Aide :  La fonction ln est dérivable en 1 et l'on a:

           •  La dérivabilité de f sur IR- {0} est aisée à prouver car f est le quotient

             de deux fonctions  u et v:

                         u x → ln( 1 + x² )   où  x →  1 + x²    définie dérivable et strictement 

                                                                                      positive sur IR

                          v: x → x  

                 u et v sont définies et dérivables sur  IR- {0} et v non nulle

                 sur  IR- {0}.  Aucune difficulté  pour avoir f '.

             • La dérivabilité en 0 résulte de:

               Donc:

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