INFO Ds n°5 TS1 10 janvier 2015

                              INFO    DS n° 5           TS1  samedi 10 janvier 2015              

     EXERCICE 1

       Soit la suite ( u_n ) définie sur les entiers naturels non nuls par :

      1. Est-elle majorée par 2 ? Justifier.

          REPONSE:

             OUI 

        En effet:

                Le premier réflexe est de savoir ce que cela veut dire.

                Cela veut dire:       u_n ≤ 2  pour tout n dans IN*.

          c-à-d

         c-à-d

          Il vient rapidement l'idée de montrer pour cela que

            Ainsi:

      2. Soit la fonction k définie sur l'intervalle [ 1 , + ∞ [  par :

           a.  Montrer que la fonction k est dérivable sur l'intervalle  [ 1 , + ∞ [  et que: 

              REPONSE:

                  On peut écrire k sous la forme:

                 Ainsi k est une fonction définie et dérivable dans l'intervalle  [ 1 , + ∞ [  

                comme somme et produit de telles fonctions.

                On a:

             b. Donner le sens de variation de la suite ( u_n ).

                  REPONSE:

                 Donnons déjà le sens de variation de k.

             La fonction k est donc croissante sur l'intervalle  [ 1 , + ∞ [  

               de même que la fonction 2 k.

            Or     u_n  = 2 k( n )    pour tout n dans IN*

            Conclusion:  La suite (  u_n  ) est croissante dans IN*.

       3. Que peut-on en déduire pour la suite  ( u_n ) ? Justifier.

             REPONSE:

            La suite ( u_n ) est ainsi croissante et majorée par 2 sur IN*.

             D'après un résultat de cours on peut en déduire que:

           Conclusion : La suite (  u_n ) est convergente.

        4. Déterminer:

          REPONSE: 

                 On a : 

              Ainsi :

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     EXERCICE 2                  

                   Les questions sont indépendantes.

                   Pour chaque question une affirmation est proposée.

                   Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

                   Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

                  Toute trace de recherche sera valorisée.

        1. Affirmation 1.

                <<  Dans l'ensemble des nombres complexes l'équation 

                   admet au moins une solution. >>

             REPONSE: NON

              En effet :

                Soit z = x + i y

                 Alors    z²  = x²  − y² + 2 x y i 

                  et     | z | ²  =  x²  + y²

                 L''équation donnée s'écrit:

                    x²  − y² + 2 x y i   − (  x²  + y²  ) − 1  = 0

                 c-à-d

                        x²  − y² + 2 x y i   −   x²  − y²   − 1  = 0

                c-à-d  

                        − 2 y²    − 1  + 2 x y i  = 0 + 0 i

                  c-à-d   ( égalité des parties réelles et égalité des parties imaginaires )

                            −  2 y²   − 1 = 0        et    2 x y = 0 

                c-à-d

                       y² =  − 1 / 2       et  (  x =  0  ou  y = 0 )

                     C'est  impossible car le carré d'un réel ne peut  être strictement négatif.

       2. Affirmation 2.

       << Tout suite définie sur IN , décroissante et minorée par 0 sur IN converge vers 0 . >>

             REPONSE:

                  NON:

                 En effet: 

                   Contre exemple:

                        Soit  u_n  = 1 / ( n + 1 )  + 1     pour tout n dans IN.

                        Elle est définie sur IN.

                     •  La suite ( u_n ) est à termes positifs sur IN.

                     • Comme la fonction  x → 1 / ( x + 1 )  + 1 est décroissante dans [ 0 , + ∞ [,

                       la suite ( u_n ) est décroissante sur IN.  

                       Mais  on a :

                                lim (  1 / ( n + 1 )  + 1  ) = 0 + 1 = 1

                                x  → + ∞

                         c-à-d    lim u_n = 1

                                     n →  + ∞

             La suite ( u_n ) proposée converge vers 1 mais ne converge pas vers 0.

      3. Affirmations 3.

                 Soit les points A et B d'affixes z_A = 1 + i  et  z_B = 2 i  

                 dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct.

                << L'ensemble des points M d'affixe z,  du plan, tels  que | z − 1 − i | = | z − 2 i |

                 est une droite.>>

            REPONSE:

                     OUI.

                En effet:

                    L'égalité | z − 1 − i | = | z − 2 i | s'écrit   | z − (  1 + i ) | = | z − 2 i |

                    c-à-d      | z − z_A | = | z − z_B |

                  Cela se traduit:     AM = BM

                 L'ensemble des points M du plan tels que AM = BM est la 

                    médiatrice du segment [ AB].

                  Cet ensemble est bien une droite.

        4. Affirmation 4.

                   Soit f une fonction définie et dérivable dans l'intervalle [ -3 ; 2 ]

                   telle que f ( 0 ) = − 1  et dont la courbe de sa fonction dérivée f ' est:

     <<   La tangente au point d'abscisse 0 à la courbe de la fonction f 

       passe par le point de coordonnées ( 1 ; 0 ). >>

             REPONSE:

                OUI.

            Notons T cette tangente.

            Elle passe par le point de coordonnées ( 1 ; 0 ).

           En effet:

            Cette tangente a pour coefficient directeur f '( 0 ).

            D'après le graphique f '( 0 ) = 1.

            On sait aussi d'après l'énoncé que f( 0 ) = − 1

            Ainsi l'équation réduite de cette tangente:

                        y = f ' ( 0 ) ( x − 0 ) + f ( 0 )

             c-à-d 

                        y =  x − 1

             Pour   x = 1   on a bien    y = 0

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     EXERCICE 3

         Soit la fonction g définie sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ par :

                 g( x ) = e^x − x e^x + 1

      1. Déterminer la limite de g en + ∞.

         REPONSE:

            Soit x ≥ 0

           On a :    g( x ) = e^x ( 1 − x  ) + 1

             On sait que :

               lim e^x  = + ∞     d'après le cours

               x → + ∞ 

             On a :     l im ( 1 − x ) = − ∞  

                             x → + ∞

     Donc :  lim  [  e^x ( 1 − x  ) + 1  ] =  ( + ∞) × ( − ∞ ) + 1 = − ∞

                 x → + ∞

                c-à-d

            Conclusion:

                                   lim g =  − ∞

                                   + ∞

      2. Etudier les variations de g.

          REPONSE:           

           La fonction g est définie et dérivable dans l'intervalle [ 0 , + ∞ [

           comme somme et produit de telles fonctions.

          Soit x dans  [ 0 , + ∞ [.

           On a :   g ' ( x ) = e ^x  − ( 1 e^x + x e^x ) =  e ^x  −  e^x  − x e^x 

             c-à-d      g ' ( x ) = − x e^x

            g ' ( x ) est du signe de − x  

          Donc    g ' ( x ) < 0 pour tout x > 0

                       g ' ( 0 ) = 0

         Conclusion: La fonction g est décroisssante sur l'intrvalle [ 0 , + ∞ [

      3.Donner le tableau de variation de g.

      4.a. Démontrer que l'équation g( x ) = 0 admet sur  [ 0 , + ∞ [ une unique solution.

            On note α cette solution .

            REPONSE:

                 • La fonction g est définie , continue car dérivable sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                 • La fonction g est est strictement décroissante sur 'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                 •  g ( 0 ) = 2

                   lim g = − ∞

                   + ∞

                    On a 0 compris entre g ( 0 ) et lim g   .

                                                                    + ∞  

              Donc d'après le Th. de la bijection l'équation g ( x) = 0 amet une

               unique solution α dans l'intervalle  [ 0 , + ∞ [.

                Conclusion: Le résultat est avéré.

        b. A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10⁻²  de α.           

              On a :   g( 0 ) = 2

                            g ( 2 ) ≈  − 6,38 

           Comme g( 0 ) × g( 2 ) < 0 on a le réel α dans l'intervalle [ 0 ; 2 ].

          Utilisons la dichotomie sur l'intervalle [ 0 ; 2 ].

           On obtient  les encadrements successifsavec la calculatrice :

              0   2   ;    1   2   ;  1   1, 5   ;   1,25    1,5   ;    1,25   1,38   ;   1,25   1,31  ;  

              1,25     1,28   ;    1,27   1,28

           Conclusion :    On peut  considérer    1,27  ≤ α  ≤ 1,28    

         c. Démontrer que :

             REPONSE:

                   On a:       g( α ) = 0   car  α  sst l'unique solution de g( x ) = 0.

              c-à-d  

                           e^α   − α e^α + 1  = 0

              c-à-d

                    e^α ( 1 - α ) + 1 = 0

             c-à-d

                        1 =  e^α ( α − 1 ) 

            c-à-d    comme α ≠ 1

       Conclusion:     Le résultat est avéré.

      5. Déterminer le signe de g( x ) suivant la valeur de x.

           REPONSE:

           On a : 

                  g ( α  ) = 0  et g st strictement décroissante sur [ 0 , + ∞ [.

                 Donc :

    6. Soit la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle  [ 0 , + ∞ [ telle que :

            a. Montrer que sa fonction dérivée  f ' est de même signe que g sur l'intervalle  [ 0 , + ∞ [.

               REPONSE:

               Soit les fonctions  u : x → e^x  + 1   et v : x → 4 x   .

                u et v sont définies et dérivables dans [ 0 , + ∞ [.

               v est non nulle sur [ 0 , + ∞ [.

                  f = u / v  

               Donc f est définie et dérivable dans l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                On a :

             Comme 4 > 0   et   ( e^x  + 1 )² > 0

            on a bien f ' qui est du signe de g sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

               Conclusion: Le résultat est avéré.

            b. Donner les variations de f.

             REPONSE:

              Comme f ' ( x ) est du signe de g ( x ) pour tout x dans l'intervalle [ 0 , +∞ [ 

                   il vient :

               Question s'il vous reste du temps. ( Facultative )

       7. Soit la fonction définie et dérivable dans IR suivante:

           a. Que peut - on dire de sa fonction dérivée G '  ?

    ( On dit que G est une primitive de g sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [   )

           b. Calculer G( 1,27 ) − G( 0).

            G( 1,27 ) − G(0 ) = G( 1,27 ) - 2

         c-à-d 

             G(1,27 ) − G(0 ) ≈ 1,87

        ( 1,87 est en unités d'aire l'aire du domaine vert.)

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