Résumé sur la fonction ln

                              Résumé à connaître parfaitement  sur la fonction   ln                déc. 2014

        1. Définition: 

             1fora

                  s'écrit aussi 

                1fo1r

          On dit que les fonctions  ln et exp sont réciproques l'une de l'autre.

          " Si l'on fait un pas en avant avec l'une on fait le pas en arrière avec l'autre pour revenir "

            On peut écrire:

                          1for4

                     Notation:             id désigne l'application identique x → x

                                   avec celle de IR dans IR qui est  idIR     et celle de IR+ * dans  IR+ *  qui est 

                                            1form44

                  On écrit souvent:     ln 2 ≈ 0,69     au lieu  ln( 2 )  ≈ 0,69

                                                     L'égalité  ex  = 2   s'écrit  x = ln 2

                     Schéma:

                                           Jg47

     2. Conséquences:

               e0   = 1     s'écrit      ln( 1 )  = 0

              e1    =  e      s'écrit      ln(  e )  = 1

              ( Rappel : e ≈ 2,71  )

     3. Les courbes des fonctions exp et ln sont symétriques

           par rapport à la première bissectrice d'équation y = x  dans un repère orthonormé.

                   Courbeexpln

       4.Prop.

             La fonction ln est strictement croissante sur IR+ *

               ln ( a b ) = ln ( a ) +  ln( b )          

              Imdecexp2334             

             avec      a > 0           b > 0       et  n  entier relatif,     quelconques               

      5. Prop .

            La fonction ln est définie et dérivable sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [   et 

                        ln '  : x →  1 / x   

      6. Prop.

              12fr4

               47fri47    

             Beta2 1

              Beta1

       7. Tableau de variation:

           1tab4

        8. Signe de ln sur l'intervalle  ] 0 , + ∞ [.  (  Important pour les exercices )

        Gf4e7r

       9. Prop.  ( Très important )

           Soit  u une fonction définie, dérivable et strictement positive dans l'intervalle I.

            Alors la fonction ln o u  est définie et dérivable sur I et l'on a :

                     4gh78   

                       sur I

      10. Remarque:

             Soit  a > 0   et    b > 0.

           On accepte maintenant ( sans invoquer le caractère

            strictement croissant de ln sur  ] 0 , + ∞ [   dans les exercices.

                 ln ( a ) =ln ( b )         équivaut à      a = b

                ln ( a ) > ln ( b )        équivaut à        a > b

                ln ( a ) < ln ( b )         équivaut à         a < b

  ---------------------------------------------------------------------------------------------------------