INFO EX 4 BAC BLANC fév 2015

              INFO EX 4    BAC BLANC TS1

EXERCICE 4                

Soient f et g les fonctions définies sur IR par
f (x) = ex    et

Ze1wcv4  

On note Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions

 f et g dans un repère orthogonal.

                        Gaer45

1. Démontrer que les courbes  Cf et Cg ont un point commun

  d'abscisse 0 et qu'en ce point , elles ont la même tangente Δ 

 dont on déterminera une équation.

REPONSE:

 Deux interprétations possibles pour la question.

 •Premier point de vue: On vérifie que f( 0 ) = g(0)

                                      puis que f '( 0 ) = g' (0 ).

•Second point de vue:   On cherche le point d'intersection des

                                     des deux courbes. Cela démontre l'unicité aussi.

                                     Puis on montre que les nombes dérivés sont les

                                     même en l'abscisse de ce point.

     Nous allons adopter le second point de vue qui est plus complet.

 f et g sont définie dans IR.

Soit x dans IR.

 On a :
        M(x; y) ∈ Cf ∩Cg ⇐⇒ f (x) = g(x)

c-à-d

         46e78rty 

 

 c-à-d

             Few579

c-à-d

             Fde45we    

   Résolvons :  X2   −  2  X +  1  = 0

        c-à-d            ( X − 1 )2 = 0

        c-à-d               X = 1

   Reportons dans X = ex / 2 

 Il vient     1 =  ex / 2    c-à-d   e0 = ex / 2       

   c-à-d    x / 2 = 0   c-à-d   x = 0

  de plus       f( 0 ) = e0  = 1

         Conclusion: Le seul point commun aux deux courbes est d'abscisse 0

             C'est le point de coordonnées A (0 ; 1).

•Calculons f ' ( 0 ) et g' ( 0).

  f et g sont définie et dérivables sur IR car la fonction x → x / 2  l'est.

  Soit x dans IR.

  On a :

  f '( x ) = ex     Donc   f ' ( 0 ) = 1

  g '( x ) = 2 ×( 1 / 2 ) ex / 2     =   ex / 2    

   Donc     g '( 0 ) = 1

Ainsi en A( 0;  1), leurs tangentes ont, toutes les deux le même cœfficient directeur 1.
Elles ont donc même tangente ∆ d’équation:

y  = f ' ( 1 ) (x − 0) + f(1 )  ⇐⇒ y = x + 1.

            Conclusion   La tangente commune est   ∆ : y = x +1
2. Étude de la position relative de la courbe Cg et de la droite ∆.
         Soit h la fonction définie sur R par:

             Kwez1279   

a.Déterminer la limite de la fonction h en − ∞.

           REPONSE:

On a :

 lim eX = 0         d'après le cours
x→ − ∞

 et      lim x / 2 = − ∞
         x→ − ∞
Donc

 lim e x / 2  = 0
x→ − ∞

Ainsi:

  78eqswo47

Conclusion:

 lim h(x)  = + ∞
x → − ∞

   b.Justifier que pour tout réel x ,

Weter45

En déduire la limite de la fonction h en +∞ .

REPONSE:

 Soit  x un réel non nul:

 On a:

Kwez1279

 Factorisons x.

Waeza12

Conclusion :  On a bien l'égalité.
De plus :
lim ( eX / X  ) = + ∞        d'après le cours
x→ + ∞
et

lim( x / 2 ) = + ∞
x→ + ∞
Donc :

11wez36512

Ainsi :

 

11wez365

Conclusion  

                lim h(x) = + ∞
                x→ + ∞

c. On note h ' la fonction dérivée de la fonction h sur IR.

      Pour tout réel x calculer h' (x ) et étudier le signe de h' (x )

       suivant les valeurs de de x

REPONSE:

 Soit x dans IR.

     On a :

               Daew489

    Ainsi :     h '( x ) > 0  ⇐⇒    x / 2 > 0  

                   h' ( x ) < 0  ⇐⇒ x / 2 < 0

                   h ' ( x ) = 0  ⇐⇒   x / 2 = 0

         Conclusion:

                  h ' > 0 sur ] 0 , + ∞ [

                  h ' < 0   sur   ] − ∞ , 0 [

                 h ' ( 0 ) = 0

      d. Dresser le tableau de variation de la fonction h sur IR.

          REPONSE:

x   − ∞            0             + ∞  
f ' ( x )            −       0      +
f( x)            ↓        0      ↑

      e. En déduire que , pour tout réel x , 

          Qew25

                 REPONSE:

         Soit x dans IR quelconque.

             On a  d'après le tableau de variation de h,

              h admet un minimum 0 en x = 0 sur IR

         Donc:        h ( x ) ≥ 0  pour tout x dans IR

                c-à-d

               Pewee12 2

         c-à-d   en ajoutant x + 1 à chaque membre

            Qew25

            Conclusion: Le résultat est avéré.

 f. Que peut-on en déduire quant aux positions relatives

   de la courbe Cg et de la droite Δ?

      REPONSE:

          Soit x dans IR quelconque.

        L'inégalité précédente s'écrit:      g( x ) ≥  x + 1

        Or on a la droite la droite  Δ: y = x + 1

           Conclusion:  la courbe Cg est au dessus, au sens

                 large, de la droite Δ sur IR.

3. Etude des positions relatives des courbes Cf et Cg.

        a. Pour tout réel x, développer l'expression

              47zamoei4689

       REPONSE:

        Soit x dans IR quelconque:

        On a :

  47zamoei46891

b) Déterminer la position relative des courbes Cf et Cg.

 REPONSE:

 Soit x dans IR quelconque:

  33werz456 2   

       Donc    f (x) − g(x) ≥ 0   pour tout réel x.

Ainsi:

          Conclusion: la courbe Cf se trouve au dessus de la

           courbe Cg sur IR  , au sens large.

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