INFO EX1 BAC BLANC 12 février 2015

       INFO  BAC BLANC    TS1   du 12 février 2015

        EXERCICE 1

             On considère la suite numérique ( un ) définie sur IN par:

               Bl3

     Partie A   conjecture.

    1.Calculer les vaeurs exactes de u1 et u2.

     REPONSE:

  Bl1  

    De plus 

               Bl2

    2. Donner une valeur approchée de u3 et u4   à 10 − 5   près .

            REPONSE:

             Avec la calculatrice on obtient :

                 u3     ≈  2,99218..          Donc :         u3     ≈  2,99219

                 u4    ≈    2,99996..           Donc:           u4    ≈    2,99997

      3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite ( un ).

               REPONSE:

            On a :  

                  u0  = 2

                  u 1  = 2,5

                  u2  = 2,875                

                  u3     ≈  2,99219  

                  u4    ≈    2,99997

               Donc       u0   ≤    u1   ≤    u2   ≤    u3   ≤   u4

           Conclusion:

               On peut conjecturer que la suite ( un ) est   croissante sur IN

               et semble converger vers  3.

       Partie B . Validation des conjectures.

              On considère la suitee numérique ( vn ) définie pour tout entier naturl n , par :

                     vn   = un − 3

                1. Montrer que, pour tout entier naturel n,  vn + 1 = − 0,5 ( vn )2  .                  

                 Considérons:

               Weret45

             Conclusion : L'égalité est prouvée sur IN.

            2. Démontrer par récurrence que , pour tout entier naturel n , 

                    −  1  ≤  vn  ≤  0

            REPONSE:

             •  n = 0

                  On a :    v0 = u0 − 3  = 2 − 3 = − 1

                   On a:            −  1  ≤  v0  ≤  0   

              • Soit n dans IN quelconque.

               Montrons que si     −  1  ≤  vn  ≤  0   alors   −  1  ≤  vn + 1  ≤  0

               Considérons   −  1  ≤  vn  ≤  0

           Alors                           0  ≤  vn2  ≤  1

          Donc         0  ≥  − 0, 5 vn2  ≥ − 0 ,5    en multipliant par − 0,5

          c-à-d        0 ≥  vn + 1  ≥   − 0,5       sachant vn + 1 = − 0,5 vn 2

          c-à-d              − 1 ≤ − 0,5 ≤  vn + 1 ≤ 0

              Ainsi :                 −  1  ≤  vn + 1  ≤  0

                 Conclusion: Le résultat est prouvé.

     3.a. Démontrer que , pour tout entier naturel n , 

             Waz1

         REPONSE:

           Soit n dans IN quelconque.

           On a vu que :               vn + 1 = − 0,5 ( vn )2    

           Donc                vn + 1 − vn   = − 0,5 ( vn )2   − vn 

            c-à-d :            vn + 1 − vn   = − vn   (  0,5  vn    +  1 ) 

          Conclusion : L'égalité est prouvée sur IN

         b. En déduire le sens de variation de la suite ( vn ).

               REPONSE:

                 Soit n dans IN quelconque.

               On a :   vn + 1 − vn   = − vn   (  0,5  vn    +  1 )

             Mais on a vue que :     − 1 ≤  vn ≤  0

                      Donc :            − vn  ≥ 0               ( 1 ) 

                           et             − 0,5  ≤  0,5 vn ≤  0

                     Donc            − 0,5  + 1  ≤  0,5 vn  + 1

                     c-à-d                   0, 5 ≤   0,5 vn  + 1            ( 2 ) 

          Ainsi ( 1 ) et ( 2 ) montrent que : 

                              − vn   (  0,5  vn    +  1 ) ≥ 0            ( produit de réels positifs )

                    c-à-d      vn + 1 − vn    ≥ 0               pour tout n dans IN.

              Conclusion : La suite ( vn ) est croissante sur IN.

           4. Pourquoi peut-on affirmer que la suite (  vn ) converge?

                REPONSE:

                La suite ( vn ) est croissante et majorée par 0 sur IN.

                  Donc d'après une propriété de cours: elle converge.

                 Conclusion:

                     Elle converge c-à-d elle admet une limite finie .

                5. On note L la limite de la suite ( vn ) .

                         On admet que L appartient à l'intervalle [ − 1 , 0 ] et vérifie L = − 0,5 L 2  

                   Déterminer la valeur de l.

                  REPONSE:

                  Considérons :   L dans [ − 1 , 0 ]

                     L = − 0,5 L 2     

                   • Pour  L = 0 l'égalité est vraie car  0 = 0   est vrai .

                  • Pour L ≠ 0   l'égalité s'écrit :     1 = − 0,5 L   en simplifiant par L

                                                      c-à-d         L = − 2            

                    Comme L est dans  [ − 1 , 0 ]  la seule solution est L = 0.

                    Conclusion:  L = 0

           6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées?

                   REPONSE:

               OUI.

               Toutes les conjectures  pour la suite ( un ) s'avèrent confirmées.

                En effet:

                un = vn + 3   pour tout n dans IN.

               • Comme la suite ( vn  ) est croissante il en est de même pour la suite ( un ).

                •Comme  la suite ( vn ) converge vers 0 alors la suite ( un ) converge vers 0 + 3 .

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