INFO EX3 BAC BLANC 12 fev 2015

                   INFO EX 3  BAC BLANC 12 février 2015    TS1

      EXERCICE 3

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé 
     Evze14
Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn défini par :

           z0 = 1   et  zn+1 = ( ( 3 / 4 )  + i ( √ 3 / 4 )  ) zn

On définit la suite (rn) par rn = |zn| pour tout entier naturel n.
1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe ( 3 / 4 ) + i (√3 / 4 ) .

   Eeweerz47 1       

 Ainsi :

            Deswee47 1

 Considérons :

             cosθ  = √ 3 / 2

            sin θ  = 1 / 2

                  θ = π / 6 

Donc 

 Conclusion: Sa forme exponentielle est :
      Res1ee45

2. a.Montrer que la suite ( r ) est géométrique de raison  √ 3 / 2.

         REPONSE:

        Soit  n un entier naturel quelconque.

       Par définition    rn+1 = |zn+1| = |  3 / 4 +i √3 / 4 | × | zn  |

             c-à-d       rn+1 = ( √3 / 2 ) rn   

        Donc :

 Conclusion : OUI . C'est la suite géométrique de raison √3 / 2

           et de premier terme r0 = |z0| = 1.
b. En déduire l'expression de rn  en fonction de n.

       REPONSE:

La suite (rn) est géométrique de raison non nulle.

 Donc:

      Pour tout n dans IN ,     rn = r0 × qn
Conclusion :

     Pour tout entier naturel n on a :           rn = 1 × ( √ 3 / 2 ) n        
c.Que dire de la longueur OA  quand n tend vers + ∞ ?

     REPONSE: 

 On a pour tout entier naturel n:

OAn = |zn    − 0 | = rn = ( √ 3 / 2 ) n

Or    − 1  < √ 3 / 2 < 1

 Donc la suite géométrique (rn) converge vers 0.
Conclusion:  La longueur OAn tend donc vers 0 quand n tend vers +∞.
3. a.On considère l'algorithme suivant :

------------------------------------------------------------

          Variables:             n entier naturel 

                                       R réel

                                       P réel strictement positif

            Entrée :             Demander la valeur de P

            Traitement :      R prend la valeur 1 

                                     n prend la valeur 0 

                                     Tant que   R > P

                                             n prend la valeur n + 1

                                             R prend la valeur  (√3 / 2) R

                                     Fin tant que

           Sortie                 Afficher n

----------------------------------------------------------------

   a. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour P= 0,5 ? 

     REPONSE:   Soit p = 0,5

                                n            R                                test R > P             
Initialisations            0        1                                           1 >  0,5    Vrai
Traitement               1       1× ( √3 / 2 )  ≈ 0,866         0,866 > 0,5      Vrai
                                2       1× ( √3 / 2 )2   ≈ 0,75           0,75 >  0,5     Vrai
                                3       1× ( √3 / 2 )3  ≈ 0,6495      0,6495 >  0,5   Vrai
                                4        0,5625                             0,5625 >  0,5   Vrai
                                5        0,487                               0,487 > 0,5 Faux
 Sortie Afficher

                   Cela affiche 5 

 Conclusion :La valeur affichée par l’algorithme pour P = 0,5 est 5.
b. Pour P = 0,01 on obtient n = 33. quel est le rôle de cet algorithme.

REPONSE:

 Cet algorithme s’arrête dès que R ≤ P et affiche alors n,

c’est-à-dire qu’il affiche la plus petite valeur de n

pour laquelle  rn ≤ P 

c-àd pour laquelle OAn  ≤ P

Conclusion:

On peut donc dire que si il affiche n = 33 avec P = 0,01 c'est que OA32 > 0,01

et  OA33 ≤ 0,01.
( r32 ≈ 0,01002 et r33 ≈ 0,00868. )
4. a. Démontrer que le triangle  OAn An+1.  est rectangle en  An+1.

  REPONSE:

    On considère le triangle OAn An+1.

                    Badap789

      Soit n dans IN quelconque .

        On a : 

E1e5e7r 1

 

  Mais 

Aze45 2

c-à-d

   Awez57

Donc 

Awez571

Donc 

14ez78

         Conclusion : Le résultat est avéré. 

 b. On admet que zn = rn eπ i / 6  .

         Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A est un ponit de l'axe des ordonnées.

          REPONSE

Le point An, distinct de O , d’affixe zn, appartient à l’axe des ordonnées si et seulement si son argument est
π / 2    modulo π, 
Comme on admet que zn = rn eπ i / 6
on a le nombre zn a pour argument nπ/6

Imposons   nπ/6 =  π / 2        ( π )

                c-à-d     n / 6 = 1 / 2    modulo 1

                c-à-d       n = 6 / 2     modulo 6 

                c-à-d        n = 3  modulo 6

Ici on veut n dans IN.

 Donc les entiers naturels acceptés sont de la forme

        3 + 6 k   où k décrit IN             

c. Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie,

    en représentant les points  A6  ,A7 ,A8 ,A9 .  

       Les traits de construction seront apparents.

                Se47poi

     • Le point A6 a pour affixe z6 qui a pour argument 6π / 6 =  π  .

           Ce point est donc sur l’axe des des abscisses.
           Comme le triangle OA5A6 est rectangle en A6,

           on trace le cercle de diamètre [OA5] ;
           Le point A6 est à l’intersection de ce cercle et de l’axe des abscisses.
     • Le point A7 a pour affixe z7 qui a pour argument  7π/ 6  = π + π/ 6 .

           Mais le point A1  est d'affixe  π/ 6.
          Ainsi les points A1, O et A7 sont alignés.

          De plus le triangle OA6A7 est rectangle en A7,
           Le point A7 se trouve donc à l’intersection du cercle de

           diamètre [OA6] et de la droite (OA1).
        • Les points A3 et A9 d'affixes d'arguments respectivement π/ 2   et 3 π/2  

         appartiennent à l’axe des ordonnées, ce qui correspond bien à
          la réponse trouvée à la question 4.b.