SUJET BAC BLANC 12 fév 2015

                        BAC BLANC    TS1   du 12 février 2015

        EXERCICE 1

             On considère la suite numérique ( u_n ) définie sur IN par:

     Partie A   conjecture.

    1.Calculer les vaeurs exactes de u₁ et u₂.   

    2. Donner une valeur approchée de u₃ et u₄   à 10 ^{− 5}   près .          

    3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite ( u_n ).        

       Partie B . Validation des conjectures.

              On considère la suitee numérique ( v_n ) définie pour tout entier naturl n , par :

                     v_n   = u_n − 3

           1. Montrer que, pour tout entier naturel n,  v_{n + 1} = − 0,5 ( v_n )²  .                  

           2. Démontrer par récurrence que , pour tout entier naturel n , 

                    −  1  ≤  v_n  ≤  0         

           3.a. Démontrer que , pour tout entier naturel n , 

             b. En déduire le sens de variation de la suite ( v_n ).         

           4. Pourquoi peut-on affirmer que la suite (  v ) converge?          

           5. On note L la limite de la suite ( v_n ) .

               On admet que L appartient à l'intervalle [ − 1 , 0 ]

               et vérifie L = − 0,5 L ²  

              Déterminer la valeur de l.              

           6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées?                

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                  EXERCICE 2 

Partie A
On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[  par f (x) = x e^{− x}.
1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.                                      

2. Déteminer la dérivée f ' de la fonction f sur [ 0 , +∞ [ et 

       en déduire le tableau de variation de f sur  [0 ; +∞[.       

On donne en annexe la courbe C_f représentative de la fonction f dans un repère

 du plan. La droite ∆ d’équation y = x a aussi été tracée.

PARTIE B

          Soit la suite ( u_n ) définie par u₀ = 1  et pour tout entie naturel n , u_{n + 1} = f( u_n )

 1. Placer sur le graphique donné en annexe , en utilisant la courbe de C_f et la droite Δ,

     les points A₀ , A₁ ,  et A₂   d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives u₀ , u₁ et u₂ .

     Laisser les tracés explicatifs apparents.              

 2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , u_n > 0.

 3. Montrer que la suite ( u_n ) est décroissante.    

 4. a. Montrer que la suite ( u_n ) est convergente. 

     b. On admet que la limite de la suite (u_n) est solution de l’équation x e^{− x} = x.

        Résoudre une équation pour déterminer la valeur de cette limite.         

PARTIE C
On considère la suite (S_n) définie pour tout entier naturel n par:

S_n = u₀ +u₁ +... +u_n
compléter l'algorithme donné en annexe afin de calculer S₁₀₀ .

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Déclaration des variables :          S et u sont des nombres réels
                                                    k est un nombre entier
Initialisation :                               u prend la valeur    ........   
                                                    S prend la valeur   .......   
Traitement :                                 Pour k variant de 1 à 100
                                                             u prend la valeur u ×e^−u
                                                             S prend la valeur  ........
Fin Pour
Afficher S

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      EXERCICE 3

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé 
     
Pour tout entier naturel n, on note A_n le point d’affixe z_n défini par :

           z₀ = 1   et  z_n+1 = ( ( 3 / 4 )  + i ( √ 3 / 4 )  ) z_n

On définit la suite (r_n) par r_n = |z_n| pour tout entier naturel n.
1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe ( 3 / 4 ) + i (√3 / 4 )       

2. a.Montrer que la suite ( r ) est géométrique de raison  √ 3 / 2. 

    b. En déduire l'expression de r_n  en fonction de n.  

    c.Que dire de la longueur OA  quand n tend vers + ∞ ?

3. a.On considère l'algorithme suivant :

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          Variables:             n entier naturel 

                                       R réel

                                       P réel strictement positif

            Entrée :             Demander la valeur de P

            Traitement :      R prend la valeur 1 

                                     n prend la valeur 0 

                                     Tant que   R > P

                                             n prend la valeur n + 1

                                             R prend la valeur  (√3 / 2) R

                                     Fin tant que

           Sortie                 Afficher n

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   a. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour P= 0,5 ? 

   b. Pour P = 0,01 on obtient n = 33. quel est le rôle de cet algorithme. 

4. a. Démontrer que le triangle  OA_n A_n+1.  est rectangle en  A_n+1.  

    b. On admet que z_n = r_n e^{π i / 6}  .

        Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A est un ponit de l'axe des ordonnées.

    c. Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie,

        en représentant les points  A₆  ,A₇ ,A₈ ,A₉ .  

        Les traits de construction seront apparents.

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 EXERCICE 4 

Soient f et g les fonctions définies sur R par
f (x) = e^x    et

  

On note C_f et C_g les courbes représentatives des fonctions

 f et g dans un repère orthogonal.                       

1. Démontrer que les courbes  C_f et C_g ont un point commun

    d'abscisse 0. et qu'en ce point , elles ont la même tangente Δ 

   dont on déterminera une équation.

2. Étude de la position relative de la courbe C_g et de la droite ∆.
         Soit h la fonction définie sur R par:

                

   a.Déterminer la limite de la fonction h en −∞.          

   b.Justifier que pour tout réel x ,

        En déduire la limite de la fonction h en +∞ .

   c. On note h ' la fonction dérivée de la fonction h sur IR.

       Pour tout réel x calculer h' (x ) et étudier le signe de h' (x )

       suivant les valeurs de x.        

    d. Dresser le tableau de variation de la fonction h sur IR   

    e. En déduire que , pour tout réel x ,   

    f. Que peut-on en déduire quant aux positions relatives

     de la courbe C_g et de la droite Δ?

3. Etude des positions relatives des courbes C_f et C_g.

        a. Pour tout réel x, développer l'expression

        b. Déterminer la position relative des courbes C_f et Cg.

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