Cours: Proba.conditionnelles

                                     Leçon n° 7   Probabilité  conditionnelle.             TS      février 2014   

              L'expérience aléatoire dans cette leçon comporte un nombre fini de résultats possibles.

       Partie A.   Quelques rappels.

  1. Univers des possibles    Ω :  C'est l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire.                                       

  2. Evénement:   C'est toute partie de l'univers des possibles Ω.

                             L'ensemble des événements est noté: 

                                     Partieomega

                          Mais après le bac on parle de la notion de tribu d'événements.

                          La plus vaste étant justement: 

                                                               Partieomega

  3. Evénements élémentaires:

                C'est  { w }   où w est dans Ω.

  4. Evénement impossible:  Ø

  5. Evénement certain:   Ω

  6. Evénement contraire:

                 Si A est un événement 

                                      Contraire

 7. Evénements incompatibles.

            Soient A et B deux événements .

              Ils sont incompatibles quand  :

                Inter

 8. Probabilité.

              Ω  = { w1  ,    ..... , wn  }       n entier naturel non nul.

             Intuitivement la probabilité d'un événement est la fréquence sa réalisation.

           On appelle probabilité P  sur

                                         Partieomega

            une fonction définie sur l'ensemble des événements

            à valeurs dans l'intervalle [ 0 , 1 ] qui possède les particularité suivantes:

              •  P( Ω ) = 1

              • Pour les événements A , B incompatibles on a     P(A U B ) = P( A ) + P( B )

      Conséquence:   •  P( Ø ) =0   car          P( Ω U Ø ) = P( Ω  ) + P(  Ø ) 

                                              c-à-d              P( Ω  )  =  P( Ω  )  +   P(  Ø ) 

                                • Comme

        1 =  P( Ω ) = P( { w1 } U  { w2 } U ...   U { wn } ) = P( { w1 } ) + .....  +  P( { wn } )

                    on peut dire que P est caractérisé par la donnée de n réels

                    P( { w1 } ) ,    ..... ,  P( { wn } )   de [ 0, 1 ]

                     tels que la probabilité d'un événement A non vide soit la somme des

                     probabilités des  événement élémentaires inclus dans A.

    9. Propriété. ( cours de 1S )

             Soit A , B deux  événements.

             On a :

                          Fram                ( 1 )

                  F45            ( 2 )

           • Explication pour la première égalité:

                                  Fql     

           •Explication pour la seconde égalité:

            59w

 

 PARTIE B

     1. Cas particulier de l'équiprobabilité.

               Quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité

               on a  pour tout événement A :

               Equip

     2 . Probabilité conditionnelle.

            Soient A un  événement  tel que   P( A ) ≠ 0

            PA    est une probabilité sur 

                    Partieomega    

             qui à tout événement B attribue la probabilité PA ( B ) telle que :

                  Prco

                    Arbre

                    pA   possède tous les caractéristiques d'une probabilité.

         3. Conséquence:

                     Dans les circonstances précédentes on a

                                124

                   Réciproquement:

                              Si on a  P( A ) ≠ 0   et 

                               Prco13                 

                alors  

                              Prco 

    4. Evénements indépendants.

                Soit A un événement avec  P( A ) ≠ 0.

                 Soit B un événement.

            A , B sont indépendants  ssi  

                        Prco1     

             c-à-d    PA( B ) = P( B )

             Cela signifie que 

             la réalisation de B ne dépend pas de celle de A

     5. Propriété:

               Soit A , B deux événements  avec  P( A ) ≠ 0.

          Si  A , B sont indépendants alors

              60w

               également.

   Explication:

       Expli1 

  6.  Formule des probabilités totales.

           Soit Ω l'univers de possibles .

           Soit  P une probabilité sur  

          Partieomega

          Soit  A1 , A2 , ... , An     une partition de  Ω constituée de n d'événements

          ( n entier naturel non nul)

           c-à-d  

          Fordesprbtot

            Partition

        Soit B un événement :

              Beven

           alors  :

   Fdprbto

            c-à-d

           si les événements  A1 , A2 , ... , An  sont de probabilités non nulles

    Fgp

    Explication:

           Explpfor

           D'où

             Fdprbto

  7. Recherche de la probabilité d'une cause.

         Arbre pondéré pour trois causes possibles A1 , A2 , A3  

       de probabilités non nulles:

             Arbret

          Quelle est la probabilité que la cause soit A1 sachant que B est réalisé?

          On veut  PB( A1 ).

          On a :

                    Prcond

                Mais   :

              927

              et  

               H90c 

            En reportant:

                    F917

          C'est la formule qui donne la probabilité que  A1  soit la cause de la réalisation de B.

          Par exemple trois fournisseurs A1 , A2 , A3  livrent un magasin en ampoules.

          1% des ampoules qui proviennent de A1 sont défectueuses.

          2% des ampoules qui proviennent de A2 sont défectueuses.

          3% des ampoules qui proviennent de A3 sont défectueuses.               

             On tire au hasard une ampoule dans le stock d' ampoules.

            Elle est défectueuse.

           On note B l'événement " l'ampoule est défectueuse".

            La formule précédente permet de savoir la probabilité que  A1  soit la cause

            du fait que l'ampoule est défectueuse.

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