INFO 1LISTE:EX TRIG 1S1 Déc 09

      INFO 1  LISTE D'EXERCICES DE TRIGO     1S1       16 Décembre 2009

               EXERCICE 1.

                    Soit le repère orthonormal direct

                   .

                    Sur le cercle trigonométrique on considère les points

                     K(  θ )  , K '  (  Π / 2 +  θ)  , M(   θ  +  θ ' )  où  θ et  θ ' sont des 

                     réels quelconques.                                                                             

                    1. Faire une figure .

                                                 

                   2. Donner les coordonnées des points K , K ' et  M en fonction de  θ et  θ '.

                          On a:             K( cos θ , sin θ )

                          On a:        K ' ( cos( Π / 2 +  θ) , sin ( Π / 2 +  θ)  )

                                              c-à-d 

                                              K ' ( - sin θ , cos θ  ) 

                          On a:    M(  cos(  θ +  θ ') , sin  ( θ +  θ ') )

                       Exprimer chacun de vecteurs    comme combinaison linéaire

                       des vecteurs  .

                     • On a : 

                                    

                      • On a : 

                                     

                       • On a : 

                                        

                  3.  On considère à présent le cercle trigo avec le repère orthonormal direct

                       .

                        a. Dans ce nouveau repère orthonormal donner les coordonnées

                             du point M. ( On remarquera que  θ ' est une  abscisse curviligne du point M

                              sur le cercle trigo avec le nouveau repère orthonormal

                              . )

                           On a :  M( cos   θ '  , sin   θ ' )

                       b.  Exprimer alors le vecteur     comme combinaison linéaire des vecteurs

                             .                   

                             On a :              ( 1 )

                       c. Puis exprimer    de nouveau comme combinaison linéaire des vecteurs

                             .

                                     D'après la question 2. on a:

                                                     et    

                                    En reportant dans  ( 1 )  on peut répondre:

                                               .

                     4.  En déduire deux formules trigo qui expriment  cos (  θ  +  θ '  )

                             et sin(  θ  +  θ ' ).

                                On  a :   

                                On avait déjà :  

                                                

                                    On  en déduit par unicité de l'écriture :

                                               cos(  θ  +  θ ' ) = cos  θ  cos  θ ' -  sin θ  sin θ'

                                                 sin(  θ  +  θ ' )  = sin θ  cos  θ ' +  cos θ  sin θ'

                       5.  En changeant  θ ' en  -  θ'  dans chacune des deux formules trouvées

                          établir deux autres formules.

                                  La première formule donne:

                                                  cos(  θ  +  ( -  θ ' ) ) = cos  θ  cos ( -  θ '  ) -  sin θ  sin ( - θ' )

                                   D'où  comme la fonction cos est paire et la fonction sin est impaire,

                                               cos(  θ  -  θ ' )   =  cos  θ  cos  θ ' +  sin θ  sin θ'         

                                      De la même façon la seconde formule donne:

                                          sin(  θ  + ( - θ ' ) )  = sin θ  cos( - θ ' ) +  cos θ  sin( -  θ' )

                                   D'où comme la fonction cos est paire et la fonction sin est impaire,

                                            sin(  θ  -  θ ' )  = sin θ  cos  θ ' -  cos θ  sin θ'

                            6. a.  Dans Dans le cas où   θ =  θ'  donner deux formules qui expriment

                                cos ( 2 θ ) et sin ( 2 θ .

                                Posons   θ =  θ'  .

                         On obtient :    cos  (  θ +  θ   ) = cos  θ  cos  θ - sin  θ   sin  θ

                                     Donc                   cos 2 θ  = cos² θ   -  sin²  θ      (  2 )

                           De plus :   sin(  θ  + θ ' ) )  = sin θ  cos(  θ ' ) +  cos θ  sin(   θ' )

                              c-à-d            sin ( 2  θ ) = 2 sin  θ  cos  θ      

                                              Or                 cos² θ  + sin² θ  = 1

                                                  c-à-d         cos² θ = 1 - sin²  θ 

                                                                  et     sin²  θ =  1 - cos² θ

                                          D'où en reportant  dans ( 2 ):

                                               cos2 θ  =  1 -  2 sin²  θ 

                                               ou encore

                                               cos 2 θ  =  2 cos² θ  - 1 

                        b.  En déduire les formules de linéarisation:

                              On a :                   cos 2 θ  =  2 cos² θ  - 1

                                D'où    en isolant cos²  θ

                                                cos² θ  = ( 1 + cos(2 θ )  ) / 2                                          

                           Par  un raisonnement analogue:

                                       De  cos 2 θ  =  1 -  2 sin²  θ 

                                       on tire

                                         sin²  θ = ( 1 - cos(2 θ )  ) / 2 

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              BILAN DE L'EXERCICE 1

                        Au terme de cet exercice vous devrez avoir constaté que :

                       cos(  θ  +  θ ' ) = cos  θ  cos  θ ' -  sin θ  sin θ'

                       sin(  θ  +  θ ' )  = sin θ  cos  θ ' +  cos θ  sin θ'

                       cos(  θ  -  θ ' )   =  cos  θ  cos  θ ' +  sin θ  sin θ'

                       sin(  θ  -  θ ' )  = sin θ  cos  θ ' -  cos θ  sin θ'

                       cos ( 2 θ ) = cos² θ -  sin² θ 

                        cos ( 2 θ )  = 2 cos² θ   - 1 

                        cos ( 2 θ )  = 1 - 2 sin² θ 

                        sin ( 2 θ ) = 2 sin θ   cos θ 

                                  θ  et   θ'  étant deux réels quelconques.

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