INFO LISTE EX ANGLE ORIEN TRIG

       INFO  LISTE D'EXERCICES .     ANGLES ORIENTES ET LA TRIGO.  1S1   Déc.09

             EXERCICE 1.

             Résoudre dans IR chacune des équations suivantes:

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   Réponse:

              L'idée est de faire apparaître cos(x - θ  ) dans le membre de gauche de l'équation              

              à l'aide de la formule : cos( x -  θ  ) = cos  θ  cos x + sin  θ  sin x             

          1. a .  Pour la résolution de :

                cos θ  et sin θ   ne peuvent être respectivement √3 / 3  et  1 car il n'y a pas de

                point sur le cercle trigo dont les coordonnées soient ( √3 / 3  ;  1 ) .

                    On peut multiplier chaque membre de (  1 ) par  √3 / 2.

                    Il vient :   ( √3 / 2 ) × ( √3 / 3  ) cos x + ( √3 / 2 ) × 1 sin x  = ( - 2 / √3  ) × ( √3 / 2 )

                     c-à-d                (1 / 2 ) cos x +  (√3 / 2 ) sinx   = - 1

                      Posons :                              cos θ  =  (1 / 2 )

                                               et        sin θ  =   (√3 / 2 )  

                           Ainsi        θ  =  Π  / 3    [ 2 Π ]     observé à l'aide d'un cercle trigo.

                     Prenons   θ  =  Π  / 3  

                      ( 1 ) s'écrit :   cos( x -  Π  / 3 ) =  - 1

                                c-à-d   directement    x - Π  / 3   =  Π    [ 2 Π ] 

                                 c-à-d   x = Π  / 3  +  Π    [ 2 Π ] 

                                  c-à-d    x = 4 Π  / 3    [ 2 Π ] 

                Conclusion:   

                  b.  Pour la résolution de :

                 cos θ  et sin θ   ne peuvent être respectivement √3  et  - 1 car il n'y a pas de

                point sur le cercle trigo dont les coordonnées soient ( √3  ;  - 1 ) .

               On peut penser diviser par 2 les deux membres.

                          L'équation (  2 ) devient :

                        ( 1 / 2 ) √3  cos x -  ( 1 / 2 ) sin x = ( 1 / 2 ) √2

             c-à-d    (√3  / 2 ) cos x -  ( 1 / 2 ) sin x =  √2  / 2

                Posons :              cos θ  =  (√3 / 2 )

                                  et       sin θ  =   (- 1 / 2 )  

                           Ainsi        θ  = - Π  / 6    [ 2 Π ]     observé à l'aide d'un cercle trigo.

                      Prenons   θ  = - Π  / 6  

                      ( 1 ) s'écrit :   cos( x - ( -  Π  / 6 ) ) =   √2  / 2

               c-à-d       cos( x +  Π  / 6  ) =  cos (  Π  / 4 ) 

              c-à-d      x +  Π  / 6 =   Π  / 4  [ 2 Π ]    ou    x +  Π  / 6 = -  Π  / 4  [ 2 Π ]  

               c-à-d      x = -  Π  / 6  +  Π  / 4  [ 2 Π ]    ou    x =  -   Π  / 6  - Π  / 4    [ 2 Π ]  

                c-à-d      x =  Π  / 12    [ 2 Π ]       ou        x =  -  5 Π  / 6     [ 2 Π ]  

                      Conclusion:   

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                                        METHODE  GENERALE

                                 Pas dans le programme de 1S  

           Soit  a cos x + b sin x = c     avec a ,  b, c trois réels et   ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ).

               • On calcule: r = √ ( a² + b ² )    qui est non nul car  ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ).

                • On pose :        cos θ  =  (a /  r  )

                                  et       sin θ  =   ( b /  r )  

          On obtient  un réel θ  à un multiple de 2Π près  avec le cercle trigo.

            a cos x + b sin x = c  s'écrit    (a / r ) cos x + ( b  / r ) sin x = c / r

            c-à-d   cos θ  cos x + sin θ  sin x = c / r

            c-à-d          cos( x - θ ) = c / r 

   Trois cas se présentent:   (   cos  étant  bornée par - 1 et 1  )

                C'est une résolution classique à présent.

                   •     c / r >1              Aucune solution

                   •     - 1  ≤  c / r  ≤ 1          Infinité de solutions

                    •    c / r < - 1          Aucune solution

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         EXERCICE 2.

                  On rappelle que:

                  pour tout réel a et tout réel b.

                  On pose:

                         1. Montrerque:  

                     2. En déduire la résolution dans IR  de l'équation:

                                                              sin ( 5 x ) + sin( 7 x ) = 0

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   Réponse:

      1. Par somme membre à membre ou différence membre à membre des égalités

                 on obtient :    a + b = α    et    a - b = β

                En reportant dans :

               puis en sommant membre à membre on obtient :

       2. Ainsi on  ramène  l'équation  sin ( 5 x ) + sin( 7 x ) = 0      ( 1 )

                            à     2 sin [( 5 x + 7 x )/ 2 ] cos[ ( 5 x - 7 x ) / 2] = 0

                         c-à-d        sin ( 6x )  cos(  - x ) = 0

                     c-à-d     sin( 6 x ) = 0  ou   cos x = 0         ( cos étant paire )

                   c-à-d   6 x = 0 [  Π ]      ou   x =  Π / 2     [  Π ]            

                      Formulation qui est plus simple que : 

                 6 x = 0 [  2Π ]     ou   6 x =  Π  -  0 [  2Π ]   ou    x =  Π / 2    [ 2 Π ]  ou x = -  Π / 2    [ 2 Π ] 

                 Donc ( 1 ) s'écrit :        x = 0 [  Π / 6  ]      ou     x =  Π / 2     [  Π ] 

 Conclusion:  

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             EXERCICE 3.

                     Exprimer  cos⁴ x   en fonction de cos( 4x ) et cos( 2 x )

                      à l'aide de formules trigo. ( Linéarisation de cos⁴ x    )

                        ( Rappel :    cos² x = ( 1 + cos( 2 x ) ) / 2   et  cos⁴ x = ( cos² x )²  )

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       Réponse:

                  On dispose de la formule :  cos² x = ( 1 + cos( 2 x ) ) / 2 

                  Par élévation au carré il vient:

                                   cos⁴ x = ( 1 + cos( 2 x ) )²  /  4

                  c-à-d        cos⁴ x = [  1 +  cos² (  2 x ) + 2 cos( 2 x )   ]   / 4

                     Mais       cos² ( 2 x  ) = ( 1 + cos( 4 x ) ) / 2 

                     Donc      cos⁴ x = [  1 + (  1 + cos( 4 x ) ) / 2  + 2 cos( 2 x )  ]  / 4

                    c-à-d        cos⁴ x =  [  3 / 2 + cos( 4 x )  / 2   + 2 cos( 2 x )  ]  / 4

                    c-à-d        cos⁴ x =  3 / 8  + ( 1 / 8 ) cos( 4 x )  + ( 1 / 2 ) cos( 2 x )  

           Conclusion :       cos⁴ x =  3 / 8  + ( 1 / 8 ) cos( 4 x )  + ( 1 / 2 ) cos( 2 x )