ACTIVITES PRELIMINAIRES LIMITES 1S DEC 08
Activité 1.
Soit la fonction f : x→ ( x² + 2 x + 1 ) / x
définie sur les intervalles ] - ∞ , 0[ et ] 0 , + ∞ [ .
1. Peut-on faire tendre x vers +∞ tout en ayant le x dans Df ?
2. Trouver trois réels a , b , c tels que f( x ) = a x + b + c / x
pour tout x dans Df .
3. Sachant que
| lim ( 1 / x ) = 0 |
| x→+ ∞ |
trouver la limite de f( x ) - (x + 2 ) quand x tend vers + ∞ c-à-d
| lim (f( x ) - ( x + 2 ) |
| x→+ ∞ |
4. Sur l'écran de la calculatrice tracer la courbe de f et la droite D: y = x + 2 ,
sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ .
Que remarquez-vous ?
( On dit que la droite D : y = x + 2 est une asymptote à la courbe de f en + ∞ . )
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Activité .2
Soit la fonction f : x → 3 - 1 / ( x + 1 ) définie sur les intervalles
] - ∞ , - 1 [ et ] - 1 , + ∞ [ .
1. Montrer que I f( x ) - 3 I =< 1 / x pour tout x strictement positif.
2. Sachant que
lim ( 1 / x ) = 0
x→ + ∞
trouver la limite de f( x ) quand x tend vers + ∞.
3. Soit la droite D: y = 3 et ( C ) la courbe de f dans un repère oethonormal du plan.
Que peut-on dire de D et ( C ) ?
( On dit que la droite D : y = 3 est une asymptote horizontale à la courbe de f en + ∞ . )
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Activité .3 Soit la fonction f : x → 1 / ( x + 2 ) définie sur les intervalles
] - ∞ , - 2 [ et ] - 2 , + ∞ [ .
On admet que :
| lim ( 1 / h) = 0 |
| h → + ∞ |
1. Exprimer f( x ) comme expression en h .
2. Trouver
| lim f( x ) |
| x→ + ∞ |
( On dit que la droite D: y = 0 est une asymptote horizontale à la courbe de f . )
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Activité 4
Soit la fonction f : x → 1 / √ ( x - 2 ) définie dans l'intervalle
] 2 , + ∞ [ .
On admet que :
| lim ( 1 / √( h) = + ∞ |
| h → 0 |
| lim f( x ) = + ∞ |
| x→ 2 |
( On dit que la droite D : x = 2 est une asymptote verticale à la courbe de f à droite. )
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Activité . 5
Soit la fonction rationnelle f : x → ( 5 x² + 2 x - 1 ) / ( x² + x + 1 )
définie qans IR.
1. Soit x > 0.
Montrer que : f( x ) = ( 5 + ( 2 / x ) - ( 1 / x² ) ) / ( 1 + ( 1 / x ) + ( 1 / x² ) )
2. On admet que :
| lim ( 1 / x) = 0 |
| x → + ∞ |
et
| lim ( 1 / x² ) = 0 |
| x → + ∞ |
Trouver alors :
| lim ( 5 + ( 2 / x) - ( 1 / x² ) ) |
| x→ + ∞ |
et
| lim ( 1 + ( 1 / x ) + ( 1 / x² ) ) |
| x→ + ∞ |
3. En déduire la limite de f( x ) quand x tend vers + ∞.
4. Trouver le quotient simplifié des termes de f( x ) de plus haut degré.
Quelle est sa limite quand x tend ver + ∞ ?
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