COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUES 1S DEC - J ANVIER 08-09
CETTE LECON COMPORTE UNE MULTITUDE DE PETITES INFORMATIONS ET DE CAS.
ELLE DEMANDE UNE DUREE IMPORTANTE POUR ËTRE ASSIMILEE COMPLETEMENT.
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1. Notation-Définition. Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont une extrémité est + ∞
et que f( x ) tend vers + ∞ lorsque x tend vers + ∞ , on écrit:
| lim f(x) = + ∞ |
| x → + ∞ |
ou
| lim f = + ∞ |
| +∞ |
ON DIT QUE l'on peut rendre f( x ) AUSSI GRAND qu'on LE veut à condition de prendre x ASSEZ GRAND.
C'est le cas des fonctions suivantes de référence:
x → x2 : x → x3 ; x → xn avec n entier naturel non nul
x → √x ; x → I x I .
On peut le résumer avec un tableau:
Fonction f
Intervalle considéré
Limite de f( x ) quand x tend vers + ∞
x → x²
] - ∞ , +∞ [
+∞
x → x3
] - ∞ , +∞ [
+∞
x → xn n entier naturel non nul
] - ∞ , +∞ [
+∞
x → √x
[ 0 , +∞ [
+∞
2. Notation-Définition. Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont une extrémité est +∞
et que f( x ) tend vers - ∞ lorsque x tend vers + ∞ , on écrit:
lim f(x) = - ∞
x → +∞
ou
| lim f = - ∞ |
| +∞ |
ON DIT QUE l'on peut rendre f( x ) AUSSI PETIT qu'on LE veut à condition de prendre x ASSEZ GRAND .
C'est le cas des fonctions suivantes de référence:
x → - x2 : x → - x3 ; x → - xn avec n entier naturel non nul
x → - √x . On peut le résumer dans un tableau:
| Fonction f | Intervalle considéré | Limite de f( x ) quand x tend vers + ∞ |
| x → - x² | ] - ∞ , +∞ [ | - ∞ |
| x → - x3 | ] - ∞ , +∞ [ | - ∞ |
| x → - xn n entier naturel non nul | ] - ∞ , +∞ [ | - ∞ |
| x → - √x | [ 0 , +∞ [ | - ∞ |
3. Notation-Définition. Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont une extrémité est - ∞
et que f( x ) tend vers + ∞ lorsque x tend vers - ∞ , on écrit:
lim f(x) = + ∞
x → - ∞
ou
| lim f = + ∞ |
| - ∞ |
ON DIT que l'on peut rendre f( x ) AUSSI GRAND qu'on LE veut à condition de prendre
x assez pettit.
C'est le cas des fonctions suivantes de référence:
x → x2 : x → x4 ; x → x2 n avec n entier naturel non nul
x → I x I
ATTENTION :
il existe des fonctions comme cos et sin définies sur IR et qui n'ont pas de limite
quand x tend vers + ∞ ou quand x tend vers - ∞
4 .Notation-Définition.
Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont une extrémité est + ∞
et que f( x ) tend vers un réel L lorsque x tend vers + ∞ on écrit:
ou
lim f(x) = L
x → +∞
| lim f = L |
| +∞ |
On dit que l'on peut rendre f( x ) aussi proche du réel L que l'on veut
à condition de prendre x assez grand.
C'est le cas des fonctions suivantes de référence:
| Fonction f | Intervalle considéré | Limite quand x tend vers + ∞ |
| x →1 / x | ] 0 , +∞ [ | 0 |
| x → 1 / x² | ] 0 , +∞ [ | 0 |
| x → 1 / xn n entier naturel non nul | ] 0 , +∞ [ | 0 |
| x → 1 / √x | ] 0 , +∞ [ | 0 |
L n'est pas toujours nul.
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5. EX. Soit la fonction f : x → 2 + ( 1 / x )
Donner sa limite en +∞ .
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REP. f est en particulier définie sur l'intervalle ] 0 , +∞ [ dont une extrémité est +∞ .
On peut donc faire la recherche.
On a :
| lim 1 /x = 0 |
| x → + ∞ |
Donc :
| lim ( 2 + (1 / x ) ) = 2 + 0 = 2 |
| x → + ∞ |
Conclusion :
| lim f(x) = 2 |
| x → + ∞ |
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6. EX. Soit la fonction g : x → ( 2 x + 1 ) / x
Donner sa limite en +∞ .
REP. On peut se ramener à la fonction f de l'exemple précédent. ( g = f sur ] 0 , +∞ [ )
Ainsi :
Conclusion:
| lim g(x) = 2 |
| x → + ∞ |
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7. EX. Soit la fonction h : x → √x + ( 2 x + 1 ) / x
Donner sa limite en +∞ .
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REP. On se place sur l'intervalle ] 0 , +∞ [ où h est définie.
+∞ est bien une extrémité de cet intervalle.
On peut faire la recherche.
Soit x > 0.
On a ; h( x ) = √x + 2 + ( 1 / x )
Comme :
| lim ( 2 + (1 / x ) ) = 2 |
| x → + ∞ |
et
| lim √x = + ∞ |
| x → + ∞ |
On en déduit :
| lim ( √x + 2 + (1 / x ) ) = 2 + ( + ∞ ) = +∞ |
| x → + ∞ |
Conclusion:
| lim h( x ) = + ∞ |
| x → + ∞ |
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8. PROP. Soit L un réel.
Soit f une fonction définie sur un un intervalle dont une extrémité est + ∞.
Les affirmations suivantes sont équivalentes::
| lim f( x ) = L |
| x → + ∞ |
| lim ( f( x ) - L ) = 0 |
| x → + ∞ |
9. Notation-Définition.
Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont une extrémité est - ∞
et que f( x ) tend vers un réel L lorsque x tend vers - ∞ on écrit:
lim f(x) = L
x → - ∞
ou
lim f = L
- ∞
ON DIT que l'on peut rendre f( x ) aussi proche du réel L qu'on LE veut à condition
de prendre x ASSEZ PETIT.
C'est le cas des fonctions suivantes de référence:
| Fonction f | Intervalle considéré | Limite quand x tend vers - ∞ |
| x →1 / x | ] -∞ , 0 [ | 0 |
| x → 1 / x² | ] -∞ , 0 [ | 0 |
| x → 1 / xn n entier naturel non nul | ] -∞ , 0 [ | 0 |
| x → 1 / ¦ x ¦ | ] -∞ , 0 [ | 0 |
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