INFO SUR LE DV n° 6 MAISON du 21 janvier 2009 1S
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EX.1 On a la fonction f: x →( 2 x - 2 )² / ( 2 x - 1 ) définie sur
] - ∞ , 1 / 2 [ U ]1 / 2 , + ∞ [ .
1. Donnons les limites de f en 1 / 2.
Comme f est définie sur deux intervalles d'extrémités 1 / 2 on peut faire
la recherche.
On a: lim ( 2 x - 2 )² = ( 2 ( 1 / 2 ) - 2 )² = ( 1 - 2 )² = 1
x→ 1 / 2
De plus : lim ( 2 x - 1 ) = 0+ et lim ( 2 x - 1 ) = 0-
x → 1 /2 x → 1 / 2
x > 1/ 2 x < 1/ 2
Ainsi : lim ( 2 x - 2 )² / ( 2 x - 1 ) = 1 / 0+ = + ∞ c-à-d lim f ( x ) = + ∞
x → 1 /2 x → 1 /2
x > 1/ 2 x > 1/ 2
D'autre part :
lim ( 2 x - 2 )² / ( 2 x - 1 ) = 1 / 0- = - ∞ c-à-d lim f ( x ) = - ∞
x → 1 /2 x → 1 /2
x < 1/ 2 x < 1/ 2
Conclusion: lim f ( x ) = + ∞ et lim f ( x ) = - ∞
x → 1 /2 x → 1 /2
x > 1 / 2 x < 1 / 2
2. Déduisons l'existence d'une asymptote verticale.
D'après les limites infinies trouvées à gauche et à droite de 1 / 2 dans la question
précédente on peut dire que la droite Δ : x = 1 / 2
est une asymptote verticale pour la courbe de f.
Conclusion: On a bien le résultat attendu.
3. Trouvons les limites de f en - ∞ et en + ∞ .
On a: f : x → ( 4 x² - 8 x + 4 ) ( 2 x - 1 )
f est une fonction rationnelle.
Sa limite en - ∞ comme en + ∞ est celle du quotient simplifié de
ses termes de plus haut degré.
Soit x dans IR - { 1 / 2 } et non nul.
Le quotient ses termes de plus haut degré est 4 x² / ( 2 x )
Le quotient ses termes de plus haut degré est 2 x .
On a : lim 2 x = + ∞ et lim 2 x = - ∞
x → + ∞ x → - ∞
Ainsi:
Conclusion: lim f( x ) = + ∞ et lim f( x ) = - ∞
x → + ∞ x → - ∞
4. Trouvons trois réels a , b , c tels que : f( x ) = a x + b + c / ( 2 x - 1 )
pour tout x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ]1 / 2 , + ∞ [ .
Utilisons la division.
| 4 x² - 8 x + 4 | | 2 x - 1 |
| - ( 4 x² - 2 x ) | | 2 x - 3 |
| - 6 x + 4 | | |
| - ( - 6 x + 3) | | |
| 1 | | |
Ainsi: ( 4 x² - 8 x + 4 ) = ( 2 x - 3 ) ( 2 x - 1 ) + 1
On a donc : ( 4 x² - 8 x + 4 ) / ( 2 x - 1 ) = 2 x - 3 + 1 / ( 2 x - 1 )
pour tout x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ]1 / 2 , + ∞ [ .
Conclusion : a = 2 b = - 3 c = 1
5. Déduisons l'existence d'une asymptote oblique pour ( C ) en + ∞ et en - ∞ .
Soit x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ]1 / 2 , + ∞ [.
On a : f( x) - ( 2 x - 3 ) = 1 / ( 2 x - 1 )
Mais lim 1 / ( 2 x - 1 ) = 0 et lim 1 / ( 2 x - 1 ) = 0
x → + ∞ x → - ∞
Ainsi : lim ( f( x ) - ( 2 x - 3 ) ) = 0 et lim ( f( x ) - ( 2 x - 3 ) ) = 0
x → + ∞ x → - ∞
Conclusion: La droite D: y = 2 x - 3 est une asymptote pour ( C ) en
+ ∞ et en - ∞ .
6. Donnons le signe de 1 / ( 2 x - 1 ) suivant x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ]1 / 2 , + ∞ [ .
Soit x distinct de 1 / 2.
Le signe de 1 / ( 2 x - 1 ) est celui de 2 x - 1.
Or 2 x - 1 < 0 quand x < 1 / 2.
2 x - 1 > 0 quand x > 1 / 2.
c-à-d f( x ) - ( 2 x - 3 ) < 0 quand x < 1 / 2.
f( x ) - ( 2 x - 3 ) > 0 quand x > 1 / 2.
Ainsi:
Conclusion: 1 / ( 2 x - 1 ) < 0 quand x < 1 / 2.
1 / ( 2 x - 1 ) < 0 quand x > 1 / 2.
( C ) est au dessous de D sur ] - ∞ , 1 / 2[.
( C ) est au dessus de D sur ] 1 / 2 , + ∞ [.
7.a. Trouvons la fonction dérivée f '.
On a : f : x → 2 x - 3 + 1 / ( 2 x - 1 )
c-à-d f : x → 2 x - 1 - 2 + 1 / ( 2 x - 1 )
On donc: f = u - 2 + 1 / u avec u : x → 2 x - 1
Comme la fonction affine u est définie , dérivable et non nulle dans
] - ∞ , 1 / 2 [ U ]1 / 2 , + ∞ [ la fonction u - 2 + 1 / u c-à-d f l'est aussi.
On a u' : x → 2 . f ' = u ' - u' / u² Soit x distinct de 1 / 2. On a : f ' ( x ) = 2 - 2 / ( 2 x - 1 )² = 2 ( 1 - 1 /( 2 x - 1 )² ) c-à-d f ' (x ) = 2 ( ( 2 x - 1 )² - 1² ) / ( 2 x - 1 )² c-à- d f ' ( x ) = 2 ( 2x ( 2 x - 2 ) ) / ( 2 x - 1 )² c-à-d f ' ( x ) = 8 ( x ( x - 1 ) ) / ( 2 x - 1 )² Conclusion: f ' x → 8 ( x ( x - 1 ) ) / ( 2 x - 1 )² sur ] - ∞ , 1 / 2 [ U ]1 / 2 , + ∞ [ . b. Montrons que f '( x) est du signe de x ( x - 1 ) pour tout x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ]1 / 2 , + ∞ [ .
Pour tout x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ]1 / 2 , + ∞ [ on a ( 2 x - 1 )² > 0
et 8 > 0.
Donc 8 ( x ( x - 1 ) ) / ( 2 x - 1 )² est du signe de x ( x - 1 )
pour tout x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ]1 / 2 , + ∞ [ .
Conclusion : On bien le résultat.
On peut donner le tableau de variation de f.
| x | - ∞ 0 1/ 2 1 + ∞ |
| f '( x ) | + 0 - || - 0 + |
| f(x ) | ↑ - 4 ↓ || ↓ 0 ↑ |
8. Recheche du point Ω.
Considérons le système: y = 2 x - 3
x = 1 / 2
Il vient : x = 1 / 2 et y = - 2
Conclusion : On a le point Ω ( 1 / 2 ; - 2 )
9. Soit x = X + 1 / 2
y = Y - 2
a. Recherche de la nouvelle équation de ( C ).
L'équation y = f( x ) avec x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ]1 / 2 , + ∞ [
s'écrit : y = 2 x - 3 + 1 / ( 2 x - 1 )
c-à-d Y - 2 = 2 ( X+ 1/ 2 ) - 3 + 1 / ( 2 ( X + 1 / 2 ) - 1 )
avec X non nul.