INFO SUR LE DS n°5 24 janvier 2009 1S
------------------------------------------------------------------------------
EXERCICE. 1 Soit la fonction f : x → ( x - 1 )² / ( x + 1 ) définie sur
l'intervalle ] -1 , + ∞ [ .
1. Trouver la limite de f en - 1.
On a : lim ( x - 1 )² = 4 lim ( x + 1 ) = 0+
x → - 1 x → - 1
x > - 1
Ainsi: lim f( x ) = 4 / 0+ = +∞
x → - 1 x > - 1
x → - 1
x > - 1
2. En déduire l'existence d'une asymptote verticale Δ pour la courbe de f.
La limite découverte dans la question 1. permet de dire:
Conclusion: La droite verticale Δ : x = - 1 est une asymptote pour la
courbe ( C ) de f.
3. Trouver la limite de f en + ∞ .
On a : f( x ) = ( x² - 2 x + 1 ) / ( x + 1 ) pour x > - 1
f est une fonction rationnelle.
Soit x > - 1 .
Le quotient de ses termes de plus haut degré est x² / x.
Donc le quotient simplifié de ses termes de plus haut degré est x.
Mais lim x = + ∞
x → + ∞
Conclusion: lim f = + ∞
x → + ∞
4. Déterminer deux réels a , b tels que :
f( x ) = a x + b + 4 / ( x + 1 ) pour tout x dans ] - 1 , + ∞ [ .
| x² - 2 x + 1 | | x + 1 |
| - ( x² + x ) | |x - 3 |
| - 3 x + 1 | | |
| - ( - 3 x - 3 ) | | |
| 4 | | |
Ainsi : f( x ) = x - 3 + 4 / ( x + 1 ) pour x > - 1.
Conclusion: a = 1 b = - 3
5. Etablir que la courbe ( C ) admet comme asymptote oblique
la droite D: y = x - 3 en + ∞.
Soit x > - 1 .
On a f( x ) - ( x - 3 ) = 4 / ( x + 1 )
Or lim ( 4 / ( x + 1 ) ) = 0
x → + ∞
D'où: lim ( f( x ) - ( x - 3 ) ) = 0
x → + ∞ Conclusion : La droite D: y = x - 3 est bien une asymptote oblique
pour la courbe ( C ) de f en + ∞.
6. Donner le signe de 4 / ( x + 1 ) quand x est dans l'intervalle ] - 1 , + ∞ [ .
En déduire les positions relatives de D et ( C ) .
4 / ( x + 1 ) est du signe de x + 1 pour x > - 1.
Or x + 1 > 0 quand x > - 1.
Donc : 4 / ( x + 1 ) > 0 pour x > - 1.
Ainsi : f( x ) - x > 0 quand x > - 1
Conclusion: 4 / ( x + 1 ) > 0 pour tout x > - 1.
( C ) est au dessus de D sur ] - 1 , + ∞ [ .
7. a. Montrer que la fonction dérivée f ' de f est :
On a : f : x → x - 3 + 4 / ( x + 1 ) sur l'intervalle ] - 1 , + ∞ [ .
Soit les fonctions u : x → x - 3
et v: x → x + 1
u et v sont définies et dérivables dans l'intervalle ] - 1 , + ∞ [ .
v y est non nulle.
u ' : x → 1
et v ' : x → 1
Comme f = u + 4 / v la fonction f est dérivable dans ] -1, + ∞ [ .
f ' = u' - 4 v ' / v²
On a : f '( x ) = 1 - 4 / ( x + 1 )² pour tout x > - 1.
c-à-d f '( x ) = ( (1 + x ) ² - 2² ) / ( x + 1 )² pour tout x > - 1.
c-à-d f '( x ) = (x - 1 ) ( x + 3 ) / ( x + 1 )² pour tout x > - 1.
Conclusion : On a bien le résultat. f '( x ) = ( x - 1 ) ( x + 3 ) / ( x + 1 )² pour tout x > - 1. b. Trouver le signe de f ' ( x ) pour tout x dans ] - 1 , + ∞ [ . Donner le tableau de variations de f. Le signe de f '( x ) est celui de ( x - 1 ) ( x + 3 ) pour tout x dans ] - 1 , + ∞ [ .
Donnons le tableau de variation.
x
- 1 1 + ∞
f ' ( x )
|| - 0 +
x
- 1 1 + ∞
f ' ( x )
|| - 0 +
f ( x )
|| ↓ 0 ↑
Trouver les coordonnées de Ω
Considérons le système: x = - 1
y = x - 3
Ce système donne : x = - 1 et y = - 4 .
Conclusion : On a le point Ω ( - 1; - 4 ) .
9. On pose : x = X - 1
y = Y - 4
Montrer que l'équation y = f( x ) pour tout x dans ] - 1 , + ∞ [
devient Y = X + 4 / X pour tout X dans ] 0 , + ∞ [ .
y = f( x ) avec x > - 1
s'écrit : y = x - 3 + 4 / ( x + 1 ) avec x > - 1 ..
c-à-d Y - 4 = X - 1 + 4 / ( X - 1 + 1 ) avec X > 0.
c-à-d Y = X + 4 / X avec X > 0 .
Conclusion: On a bien le résultat.
10. Quel est le points A de la courbe ( C ) où la tangente est horizontale?
On a : A( 1 ; 0 ) .
En effet : f ' ( 1 ) = 0
f ( 1 ) = 0
11. Courbe.
12. Donner une équation de la tangente à la courbe de f au point
d'abscisse 0.
On a : y = f '( 0 ) ( x - 0 ) + f( 0 )
Mais f( 0 ) = 1 et f ' ( 0 ) = - 3
Conclusion: la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est
d'équation : y = - 3 x + 1.
13. Discuter graphiquement le nombre de solutions de l'équation f( x ) = α
dans l'intervalle ] - 1 , + ∞ [ où α est un nombre réel.
On a : • Pour α > 0 Il y a deux points d'intersection entre ( C ) et la droite d'équation y = α.
Il y a donc deux solutions pour l'équation y = α.
• Pour α = 0 Il y a un seul point d'intersection entre ( C ) et la droite d'équation y = α.
Il y a donc une seule solution pour l'équation y = α.
• Pour α < 0 Il n' y a aucun point d'intersection entre ( C ) et la droite d'équation y = α.
Il n' y a donc aucune solution pour l'équation y = α.