INFO EX 3 DS n° 4 1S1 20 Déc. 2008
EX.3 Soit la fonction h : x → ( x² + x + 1 ) / ( x + 1 )
définie dans ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [ .
1. Donnons les coordonnées du point a d'intersection de la courbe ( C )
de h avec l'axe des abscisses.
Soit x dans ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [ .
On a : h( x ) = ( x + 2 )² / ( x + 1 )
Donc h( x ) = 0 ssi x + 2 = 0
c-à-d h( x ) = 0 ssi x = - 2
Conclusion : On a le point A( - 2 ; 0 ) .
2. Trouvons trois réels a , b , c tels que :
h( x ) = a x + b + c / ( x + 1 )
pour toutx dans ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [ .
Par division on obtient pour tout x dans ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [ :
- ( x² + x ) 3 x + 4 - ( 3 x + 3) 1 | x + 3 | | |
x² + 4 x + 4
| x + 1
Ainsi : x² + 4 x +4 = ( x + 1 ) ( x + 3 ) + 1
Donc pour tout x dans ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [
(x² + 4 x +4 ) / ( x + 1 ) = x + 3 + 1 / ( x + 1 )
Conclusion : On a h( x ) = x + 3 + 1 / ( x + 1 )
pour tout x dans ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [ .
a = 1 b = 3 c = 1
3.a. Trouvons la fonction dérivée h ' de h.
On a h = u + 1 / v
avec u : x → x + 3 et v : x → x + 1
Les fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR.
v est non nulle dans IR - { - 1 } .
Donc la fonction u + 1 / v c-à-d h est définie et dérivable
dans IR - { - 1 } .
On a : h ' = u ' - v ' / v²
avec u ' : x → 1 et v ' : x → 1
Donc h ' : x → 1 - 1 / ( x + 1 )²
c-à-d h ' : x → ( ( x+1 )² - 1 ) / ( x + 1 )²
Or ( x+1 )² - 1 = ( x+1 )² - 1² = ( x + 1 - 1 ) ( x + 1 + 1 )
c-à-d ( x+1 )² - 1 = x ( x + 2 )
Donc h ' : x → ( x(x+ 2) ) / ( x + 1 )²
Conclusion : On a h ' : x → ( x(x+ 2) ) / ( x + 1 )²
sur ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [ .
b. Donnons le signe de h ' ( x ) pour tout x dans
l'intervalle ] - 1, + ∞ [ .
Soit x dans l'intervalle ] - 1, + ∞ [ .
On a h ' ( x ) qui est du signe de x ( x + 2 ).
Dans IR le trinome du second degré x ( x + 2 ) s'annule
quand x = - 2 ou x = 0 .
On a 1 qui est le coefficient de x² .
1 est positif.
La règle des signes d'un rrinome
du second degré nous permet de dire:
• pour x > 0 on a x ( x + 2 ) > 0 .
• pour -1 < x < 0 on a x ( x + 2 ) < 0
Conclusion: h '( x ) = 0 ssi x = 0
h '( x ) < 0 ssi - 1 < x < 0
h '( x ) > 0 ssi x > 0
c. Donnons le sens de variation de h sur l'intervalle ] - 1, + ∞ [ .
D'après le 3.b on peut dire
Conclusion : h est strictement croissante sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ .
h est strictement décroissante sur l'intervalle ] - 1, 0] .
Le tableau de variation de h sur l'intervalle ] - 1, + ∞ [ est :
( Pas demandé )
| x | - 1 0 + ∞ |
| h ' ( x ) | || - 0 + |
| h ( x ) | || ↓ 4 ↑ |
4. Complétons le tableau de valeurs :
| x | 0,5 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| h ( x ) | 4,1 | 4 | 4,5 | 5,3 | 6,2 |
5. Courbe ( C ) de h sur l'intervalle ] - 1 , + ∞ [.
La droite Δ : x = - 1 est verticale . Elle passe par le point de coordonnées ( - 1 ; 0 ).
Pour tracer la droite oblique D : y = x + 3 il sufit de prendre les points de coordonnées
( - 3 , 0 ) et ( 0 , 3 ) .
La tangente T à la courbe ( C ) au point d'abscisse 0 est HORIZONTALE car h' ( 0 ) = 0.
T passe par le point de coordonnées ( 0 ; 4 ).
6. a . Soit x > 0 .
Justifions que : 0 < 1 / ( x + 1 ) < 1 / x .
On a : 0 < x < x + 1
Or la fonction inverse est strictement décroissante et strictement positive dans l'intervalle ] 0 , + ∞ [.
D'où 0 < 1 / ( x + 1 ) < 1 / x
Conclusion : On a le résultat demandé.
b. Montrons que lim ( h( x ) - ( x + 3 )) = 0.
x → + ∞
Soit x > 0 .
On a vu que : h( x ) = x + 3 + 1 / ( x + 1 )
Donc h( x ) - ( x + 3 ) = 1 / ( x + 1 )
Posons k = x + 1
On a :
lim 1 / ( x + 1 ) = lim 1 / k = 0
x → + ∞ k → + ∞
Donc lim ( h( x ) - ( x + 3 )) = 0.
x → + ∞ Conclusion : On a bien le résultat demandé. Conséquence : La droite D : y = x + 3 est une asymptote à la courbe ( C ) de h en + ∞ . -----------------------------------------------------------------------------------------