INFO EX 7 LISTE 1 D'EX SUR LES LIMITES S 5 Janvier 2009
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EX.7 Soit la fonction f : x → cos x / ( 1 + x² )
1. Encadrer f par deux fonctions.
2. Trouver la limite de f en + ∞.
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REP La fonction f est définie dans IR.
1. Encadrons f.
Pour tout x dans IR on a - 1 =< cos x =< 1 .
Donc en multipliant chaque membre par le quotient posisif 1 / ( 1 + x² )
il vient : - 1 / ( 1 + x² ) =< cos x / ( 1 + x² ) =< 1 / ( 1 + x² )
c-à-d - 1 / ( 1 + x² ) =< f( x ) =< 1 / ( 1 + x² )
Conclusion : On a bien encadé f( x ) pour tout réel x.
2. Trouvons la limite de f en + ∞.
+ ∞ est bien une extrémité de l'intervalle de définition .
On faire la recherche.
Comme lim ( 1 + x² ) = lim x² = + ∞
x → + ∞ x →+ ∞
On a lim - 1 / ( 1 + x² ) = lim 1 / ( 1 + x² ) = 0
x → + ∞ x → + ∞
avec l'encadrement de la question 1. et le th. des gendarmes on peut
conclure que lim cos x /( 1 + x² ) = 0
x → + ∞
Conclusion lim f( x ) = 0
x → + ∞
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