INFO EX 1.2.3.4 LISTE 1 D'EX SUR LES LIMITES 1S 5 Janvier 2009
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EX. 1 Soit la fonction f : x → ( 2 x² + 3 x - 1 ) / ( x + 2 )
Trouver la limite de f en + ∞.
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REP. f est définie dans ] - ∞ , - 2 [ U ] - 2 , + ∞[.
+ ∞ est une extrémité d'un intervalle de définition de f.
On peut faire la recherche.
• f est une fonction rationnelle.
Soit x > 0 .
Le quotient des termes de plus haut degré est :
( 2 x² ) / x
Le quotient simplifié des termes de plus haut degré est :
2 x
Or lim 2 x = + ∞
x → + ∞
Ainsi : lim ( 2 x² + 3 x - 1 ) / ( x + 2 ) = + ∞
x → + ∞
Conclusion: lim f( x ) = + ∞
x → + ∞
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EX. 2 Soit la fonction f : x → ( 4 x + 3 ) / ( x - 1 )
Trouver la limite de f en + ∞.
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REP f est une fonction rationnelle définie dans IR - { 1 }.
+ ∞ est une extrémité d'un intervalle de définition de f .
On peut faire la recherche.
Soit x > 1.
Le quotient des termes de plus haut degré est ( 4 x ) / x.
Le quotient simplifié des termes de plus haut degré est 4.
lim 4 = 4
x → + ∞
Donc
lim ( 4 x + 3 ) / ( x - 1 )) = 4
x → + ∞
Conclusion : lim f( x ) = 4
x → + ∞
Sur le plan graphique cela traduit que la droite horizontale
d'équation y = 4 est une asymptote à la courbe de f en + ∞
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EX.3 Soit la fonction f : x → x² - 5x + 3
Trouver la limite de f en + ∞.
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REP f est une fonction polynôme définie dans IR.
+ ∞ est bien une extrémité de l'intervalle de définition .
On peut faire la recherche.
Le terme de plus haut degré est x² .
On a : lim x² = + ∞
x → + ∞
Donc :
lim ( x² - 5 x + 3 ) = + ∞
x → + ∞
Conclusion : lim f( x ) = + ∞
x → + ∞
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EX.4 Soit la fonction f : x → ( - 10 x² + 3 x - 1 ) / ( 2 x² + x + 1 )
Trouver la limite de f en + ∞.
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REP f est une fonction rationnelle définie dans IR - { 1 }.
+ ∞ est une extrémité d'un intervalle de définition de f .
On peut faire la recherche.
Soit x > 1.
Le quotient des termes de plus haut degré est ( - 10 x² ) / ( 2 x ² )
Le quotient simplifié des termes de plus haut degré est - 5 .
lim - 5 = - 5
x → + ∞
Donc
lim ( - 10 x² + 3 x - 1 ) / ( 2 x² + x + 1 ) = - 5
x → + ∞ Conclusion : lim f( x ) = - 5 x → + ∞
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