LISTE 2 D'EX. SUR LES LIMITES 1S Janvier 09
Faire comme devoir n° 6 l'exercice 1 pour le mercredi 21 janvier 2009
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EX. 1 Soit la fonction f : x → ( 2 x - 2 )² / ( 2 x - 1 ) définie sur
] - ∞ , 1 / 2 [ U ] 1 / 2 , + ∞ [ .
Soit ( C ) la courbe de la fonction f dans un repère orthonormal du plan.
( Unité graphique : 2 cm )
1. Trouver les limites de f en 1 / 2. ( On distinguera à droite , à gauche.)
2. En déduire l'existence d'une asymptote verticale Δ pour la courbe ( C ).
3. Trouver les limites de f en - ∞ et en + ∞ .
4. Déterminer trois réels a , b , c tels que :
f( x ) = a x + b + c / ( 2 x - 1 )
pour tout x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ] 1 / 2 , + ∞ [ .
5. Etablir que la courbe ( C ) admet une asymptote oblique D , dont
on donnera l'équation réduite , en + ∞ comme en - ∞.
6. Donner le signe de 1 / ( 2 x - 1 ) suivant x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ] 1 / 2 , + ∞ [ .
En déduire les positions relatives de D et ( C ) .
7. a. Trouver la fonction dérivée f ' de f .
b. Montrer que f ' ( x ) est du signe de x ( x - 1 )
pour tout x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ] 1 / 2 , + ∞ [ .
Donner le tableau de variations de f.
8. Soit Ω le point d'intersection des droites D et Δ .
Trouver les coordonnées de Ω .
9. On pose : x = X + 1 / 2
y = Y - 2
( Formules de changement de repère par changement d'origine.)
a. Montrer que l'équation y = f( x ) pour tout x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ] 1 / 2 , + ∞ [
devient Y = 2 X + 1 / ( 2 X ) pour tout X dans ] - ∞ , 0 [ U ] 0 , + ∞ [ .
b. Soit la fonction g : X → 2 X + 1 / ( 2 X ) définie dans ] - ∞ , 0 [ U ] 0 , + ∞ [ .
Est-elle paire , impaire , quelconque?
c. Que peut-on dire du point Ω pour la courbe ( C ) ?
10. Quels sont les points A et B de la courbe ( C ) où la tangente est horizontale?
11. Tracer dans le même repère orthogonal ( C ) , D , Δ , A , B .
12. Discuter graphiquement le nombre de solutions de l'équation f( x ) = α
où α est un nombre réel.
( On pourra pour cela considérer les points d'intersection éventuels entre ( C ) et
la droite Lα : y = α .)
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EX. 2 Soit la fonction f : x→ √ ( x² - 3 x ).
1. Donner le domaine de définition de f .
2. Etablir que x² - 3 x > ( 1 / 2 ) x² pout tout x dans l'intervalle ] 6 , + ∞ [.
3. En déduire une fonction polynôme g telle que : g < f sur l'intervalle ] 6 , + ∞ [.
4. Trouver la limite de f en + ∞ .
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EX. 3 Soit la fonction f : x→ √ (x² + 4 ) - x définie dans IR.
Soit ( C ) sa courbe dans un repère orthogonal du plan.
( Unités graphiques: 1 cm en abscisse
0,5 cm en ordonnée. )
1. Pour tout x dans ] - ∞ , 0 [ montrer que f( x) > - x .
2. Trouver la limite de f en - ∞ .
3. Montrer que √ (x² + 4 ) + x > 0 pour tout x dans IR.
4. Etablir que : f( x ) = 4 / ( √ (x² + 4 ) + x ) ( 1 )
pour tout x dans IR.
5. Montrer que 0 < f(x ) < 4 / x pour tout x dans ] 0 , + ∞[.
6. En déduire la limite de f en + ∞.
7. Que peut-on dire de la courbe de f en + ∞ ?
8. Montrer que 0 < f( x ) - ( - 2 x ) < - 4 / x pour tout x dans ] - ∞ , 0 [ .
( On pourra à partir de ( 1 ) considérer
√ (x² + 4 ) + x = 4 / ( √ (x² + 4 ) - x ) pour tout x dans IR .)
9. Que peut-on dire de la droite D d'équation y = - 2 x pour la courbe de f en - ∞ ?
10. Tracer la courbe de la fonction f et la droite D.
11. On admet le résultat de cours : ( Term. )
<< Soit u une fonction définie , dérivable , strictement positive sur l'intervalle I.
Alors la fonction √ u est définie et dérivable dans l'intervalle I et l'on a :
( √ u )' = u ' / ( 2 √ u ) >>
a. En déduire que la fonction dérivée de f est :
f ' : → ( x - √ (x² + 4 ) ) / √ (x² + 4 ) sur IR.
b. Donner le sens de variation de f.
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