DS n° 4 TS2 22 novembre 2010
EXERCICE 1
Soit la fonction f : x → x3 - 6 x2 + 1.
a. Trouver f( [ 0 ; 4 ] ) .
b. L'équation f( x ) = - 5 admet-elle une unique solution α dans
l'intervalle [ 0 ; 4 ] ?
c. Dans l'affirmative donner un encadrement de α d'amplitude 10-1 .
EXERCICE 2
Montrer que :
a. lim ( cos( x ) - 1 ) / x = 0
x → 0
b. lim ( sin( 5x ) / sin( 3 x ) ) = 5 / 3
x → 0
EXERCICE 3
Soit la fonction f définie sur IR par :
f( 1 ) = 1
f( x ) = ( x2 - 1 ) / [ ( x - 1 ) √( x2 + 1 ) ] si x ≠ 1
1. Montrer que :
f( x ) = ( 1 + 1 / x ) / √( 1 + 1 / x2 )
pour tout x dans ] 0 ; 1 [ U ] 1 ; + ∞ [ .
2. Donner la limite de f en + ∞ .
3. f est - elle continue en x = 1 ?
EXERCICE 4
Soit la fonction g : x → ( x - 2 )2 sin ( 1 / ( x - 2 ) )
définie sur IR - { 2 } .
Trouver : lim g( x )
x → 2
EXERCICE 5
Soit la fonction h : x → ( x + 1 ) / ( x - 5 )
sur l'intervalle ] 0 ; 5 [.
Soit ( C ) sa courbe dans un repère orthonormal.
On admet le résultat suivant:
<< Si une fonction f est définie et dérivable dans un
intervalle I ( ouvert ) contenant le réel a alors la fonction
x → f '( a ) ( x - a ) + f( a )
est une approximation affine de f au voisinage de a
et on écrit :
f( x ) ≈ f '( a ) ( x - a ) + f( a ) pour x voisin de a >>
1. Donner une approximation affine de la fonction h au voisinage de 2.
2. En quoi consiste selon vous une telle approximation affine
pour la courbe ( C ) de h ?
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