INFO DV 3 maison TS2 15 nov 2011

            INFO  Devoir à la maison             TS2              n ° 3     15 novembre 2011

                EXERCICE  n ° 44 page 30

                           Soit la fonction numérique f : x → ( x + 1 ) / ( x² + x - 2 )                             

                            Déterminer ses limites à droite et à gauche en - 2 et en 1 .

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                     Réponse:            Courbe

                              Le trinôme du second degré  x² + x - 2  admet 1 comme racine évidente

                               car  la somme des cœfficients est  1 + 1- 2 = 0.

                              L'autre racine est donc    c / a = - 2 / 1 = - 2

                               Ainsi  D_f = ] -∞ , - 2 [ U ] - 2 , 1 [ U ] 1 , +  ∞ [

                               comme - 2 et 1 sont des extrémités des intervalles de définition on peut

                                faire la recherche.

                            •  On a d'après la règle des signes d'un trinôme du second degré:  

                                                     x² + x - 2  < 0 quand   - 2 < x < 1

                                                    x² + x - 2  > 0    quand  x < - 2   ou x > 1

                              Ainsi :         lim  (  x² + x - 2  ) = 0⁺

                                                 x → - 2 ^-                                          

                                  et     lim  (  x² + x - 2  ) = 0 ^-

                                          x → - 2 ⁺

                                   De plus      lim (x + 1 ) = - 2 + 1 = - 1

                                                    x → - 2

                               Donc :      lim f( x ) =  -1 /  0⁺   = - ∞

                                                 x → - 2 ^-                                  

                                et             lim f( x ) =  -1 /  0 ^-   = + ∞

                                                 x → - 2 ⁺    

                          Conclusion :        lim f  =   - ∞          lim f  =   + ∞

                                                      - 2 ^-                         - 2 ⁺ 

                             Cela permet de dire que la droite verticale D : x = - 2

                             est une asymptote pour la courbe de la fonction f.

                     •  De la même façon:                            

                                lim  ( x² + x - 2  ) = 0 ^-

                                 x → 1 ^-                                          

                       et     lim  ( x² + x - 2  ) = 0 ⁺

                                x → 1 ⁺

                        De plus      lim (x + 1 ) = 1 + 1 =  2

                                        x → 1

                               Donc :      lim f =  2/  0 ^-   = - ∞

                                                1 ^-                                 

                                et             lim f =  2 /  0 ⁺   = + ∞

                                                   1 ⁺    

                       On peut conclure:

              Conclusion:        lim f = - ∞     et             lim f =  + ∞

                                          1 ^-                              1 ⁺   
            

                            Cela permet de dire que la droite verticale D : x = 1

                             est une asymptote pour la courbe de la fonction f.

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         EXERCICE  n °66 page 31 

         On considère la fonction g : x → x³ / ( x² + 3 x + 3 )

         Montrer que g(x ) s'écrit aussi sous la forme :

                        g(x ) = x - 3 + ( 6 x + 9 ) / ( x² + 3 x + 3 )

         Déterminer l'asymptote à la courbe de g  et préciser la position

          de la courbe par rapport à cette droite .

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       Réponse:                            Courbe de la fonction g:

                Le discriminant de x² + 3 x + 3  est    Δ = 3² - 4 ×1 ×3 = - 3

               Δ < 0 

                Pas de racine pour x² + 3 x + 3

               Donc la fonction g est définie dans IR.

         • Vérification de l'égalité.

             Soit  x dans IR.

    Faisons une réduction au même dénominateur pour vérifiée l'égalité proposée:

             x - 3 + ( 6 x + 9 ) / ( x² + 3 x + 3 ) = [  ( x - 3 ) ( x² + 3 x + 3 )+  6 x + 9  ]  / ( x² + 3 x + 3 )

           c-à-d 

   x - 3 + ( 6 x + 9 ) / ( x² + 3 x + 3 ) =  [ x³+ 3 x² + 3 x - 3 x² - 9 x - 9 +  6 x + 9  ]  / ( x² + 3 x + 3 )

          c-à-d

  x - 3 + ( 6 x + 9 ) / ( x² + 3 x + 3 ) =   x³   / ( x² + 3 x + 3 )

          Conclusion : L'égalité proposée est vraie pour tout réel x.

         • Recherche de l'asymptote oblique à C en +∞ .

            Soit x dans IR.

            On a :   g( x ) - ( x - 3 ) =  ( 6 x + 9 ) / ( x² + 3 x + 3 )

       Comme la fonction x → ( 6 x + 9 ) / ( x² + 3 x + 3 ) est une fonction rationnelle

      considérons le quotient simplifié de ses termes de plus haut degré.

       Soit x > 0   On a  :    6 x / x²   =  6 / x

           On a  :      lim 6 / x = 0

                            x → + ∞

           Donc     lim ( 6 x + 9 ) / ( x² + 3 x + 3 ) = 0

                         x → + ∞

         c-à-d       lim ( g(x ) - ( x - 3 ) ) = 0

                        x → + ∞

           Conclusion : La droite oblique D : y = x - 3 est une asymptote à la courbe C_g de g

                              en  + ∞.

            • Donnons les position relative de D et C_g  .

              Comme Δ < 0     x² + 3 x + 3 est toujours du signe de a = 1

               Donc      x² + 3 x + 3 > 0  pour tout x dans IR

               Le quotient  ( 6 x + 9 ) / ( x² + 3 x + 3 ) est toujours du signe de 6 x + 9

              c-à-d de  2 x + 3   sachant   6 x + 9 = 3 ×( 2 x + 3 )

             • • Soit x > - 3 / 2.

                  Alors   2 x + 3 > 0    c-à-d      g( x ) - ( x - 3 )  > 0

              Conclusion :      Sur l'intervalle ] - 3 / 2 , + ∞ [     C_g  est au dessus de D .

           • • Soit x < - 3 / 2.

                  Alors   2 x + 3 < 0    c-à-d      g( x ) - ( x - 3 )  < 0

           Conclusion :      Sur l'intervalle ] - ∞  , - 3 / 2    [     C_g  est au dessous de D .

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          EXERCICE n° 59 page 31

         Soit  h( x ) = √(  x² + x + 4  )  / √( 4 x² - 4 x + 8  )    

         Trouver   lim h     et      lim h

                         + ∞                  - ∞  

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        Réponse:            Courbe

          • On a :     4 x² - 4 x + 8  = 4× ( x² -  x + 2 )

            Le discriminant de x² -  x + 2    est    Δ = 1 - 8 = - 7

              Δ < 0

              a = 1

            Donc   x² -  x + 2  est toujors du signe de a et ne s'annule pas.

              Ainsi      4 x² - 4 x + 8 >  0    pour tout réel x.

           •   x² + x + 4   admet comme discriminant   Δ =1 - 16 = - 15 

              Δ < 0    et a = 1

             x² + x + 4    est toujors du signe de a et ne s'annule pas.

            D'où   x² + x + 4 > 0   pour tout x dans IR.

                     Ainsi la fonction est définie dans IR.   

              • 1^ère méthode.

                   Soit x dans IR.

                 On a :      h( x ) =   √(  x² + x + 4  )  / √( 4 x² - 4 x + 8  ) 

                   c-à-d  ici     h(x ) = √( ( x² + x + 4  )  / ( 4 x² - 4 x + 8  ) )

                     La fonction x → ( x² + x + 4  )  / ( 4 x² - 4 x + 8  ) est rationnelle.

                 Soit x non nul.    On a :    x² / ( 4 x² ) = 1 / 4

                Ainsi   lim ( x² + x + 4  )  / ( 4 x² - 4 x + 8  ) = 1 / 4

                           x → ± ∞

                    Or  lim √x  = √( 1 /4 ) = 1 / 2

                          x → 1 /4

               D'où    lim √ ( ( x² + x + 4  )  / ( 4 x² - 4 x + 8  )) = 1 / 2

                          x → ± ∞                 

         Conclusion :     lim h = 1 / 2     et    lim h = 1 / 2

                                          + ∞                           - ∞

               • 2 ^ième  méthode.

                 Soit x ≠  0  

                 h( x ) =   √(  x² + x + 4  )  / √( 4 x² - 4 x + 8  )   

  c-à-d       h( x )  = √(  x² ( 1 +( 1/ x ) + ( 4 / x²  ) ) / √( 4 x²( 1  - ( 1 / x ) +( 2 / x²   )  )

 c-à-d      h( x )  = | x | √(  1 +( 1/ x ) + ( 4 / x²  ) ) / [ 2 | x | √(  1  - ( 1 / x ) +( 2 / x²   )  )]

 c-à-d     en simplifiant par | x |

               h( x )  = √(  1 +( 1/ x ) + ( 4 / x²  ) ) / [ 2 √(  1  - ( 1 / x ) +( 2 / x²   )  )]

         Or     lim  √(  1 +( 1/ x ) + ( 4 / x²  ) ) = √ 1 = 1

                  x → ± ∞                 ( O n peut détailler davantage )

          et   lim √(  1  - ( 1 / x ) +( 2 / x²   )  ) = √ 1 = 1

               x → ± ∞

    Ainsi 

              lim √(  1 +( 1/ x ) + ( 4 / x²  ) ) / [ 2 √(  1  - ( 1 / x ) +( 2 / x²   )  )] = 1 /( 2 ×1 ) = 1 / 2

            x → ± ∞

     c-à-d     lim h = 1 / 2

                   ± ∞

            Conclusion :     lim h = 1 / 2     et    lim h = 1 / 2

                                          + ∞                           - ∞

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         EXERCICE   n°60 page 31  

          Soit la fonction    f : x →  √( x² - 4 x + 3 ) - √( x² - 3 x + 2 )

          Donner    lim f    et     lim f

                          + ∞               - ∞

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           Réponse:        

                                  Courbe:

                      Déterminons d'abord les intervalles de définition de la fonction f.

                  •  Nous devons avoir x² - 4 x + 3 ≥ 0 en raison de la racine carrée.

                   Considérons  x² - 4 x + 3    , on a  1 qui est une racine évidente

                        car 1 - 4 + 3 = 0

                     L'autre racine est donc    c / a = 3 / 1 = 3

                     a = 1 

                     Ainsi   d'après la règle des signes d'un trinôme du second degré

                    x² - 4 x + 3 ≥ 0  ssi  x ≤ 1  ou x ≥  3

                       Donc déjà :  √( x² - 4 x + 3 )  n'existe que si x est dans ] -  ∞ , 1] U [ 3 , +  ∞[.                    

                   • Nous devons avoir  x² - 3 x + 2 ≥ 0  en raison de la racine carrée.
                        Le  trinôme du second degré   x² - 3 x + 2  admet aussi 1 comme racine évidente

                            car 1 - 3 + 2  = 0.

                       Son autre racine est donc:    c / a = 2

                        a = 1

                     Donc d'après la règle des signes d'un trinôme du second degré

                          x² - 3 x + 2  ≥ 0     ssi   x ≤ 1  ou x ≥ 2 

                         Nous devons avoir ici  :     x dans ] -  ∞ , 1 ] U [ 2 , + ∞[

                     •    En résumé la  fonction  est définie dans ] -  ∞ , 1 ]U [ 3 , + ∞[

                            La fonction f est définie  sur ] -  ∞ , 1 ] U [  3 , +  ∞[

                        + ∞  et - ∞  sont bien des extrémités des intervalles de définition.

                      On peut faire la recherche demandée.

                       Soit  x < 0   ou x ≥3

                          On :

                              f( x ) = √( x² - 4 x + 3 ) - √( x² - 3 x + 2 )

            c-à-d    ( en utilisant  l'expression conjuguée )

  f( x ) = [ √( x² - 4 x + 3 ) - √( x² - 3 x + 2 )] × ( √( x² - 4 x + 3 ) +√( x² - 3 x + 2) ) / (√( x² - 4 x + 3 ) + √( x² - 3 x + 2) )

c-à-d

f( x ) = [ ( x² - 4 x + 3 ) - ( x² - 3 x + 2 )] / (√( x² - 4 x + 3 ) + √( x² - 3 x + 2) )

c-à-d

f( x ) = [ - 4 x + 3  + 3 x - 2 ] / (√( x² - 4 x + 3 ) + √( x² - 3 x + 2) )

c-à-d

f( x ) = [ -  x  - 1 ] / (√( x² - 4 x + 3 ) + √( x² - 3 x + 2) )

c-à-d               ( en factorisant x²   sous les radicaux )

f( x ) = [ x( - 1 - 1 / x  ) ] / (√( x²( 1  - ( 4 / x ) +( 3 /  x²) ) )+ √( x²( 1  - ( 3 / x )+ ( 2 / x² ) ) )

c-à-d      ( comme  √( x²   ) = | x |     )

= | x f( x ) = [ x( - 1 - 1 / x  ) ] / ( | x |√( 1  - ( 4 / x ) +( 3 /  x²) )+ | x |√( 1  - ( 3 / x )+ ( 2 / x² )  )

c-à-d             ( en factorisant | x |  au dénominateur )

f( x ) = [ x( - 1 - 1 / x  ) ] / ( | x | [ √( 1  - ( 4 / x ) +( 3 /  x²) )+ √( 1  - ( 3 / x )+ ( 2 / x² ) ] )

c-à-d

f(x ) = [  x / | x |   ] ×  [ ( - 1 - 1 / x  ) / ( √( 1  - ( 4 / x ) +( 3 /  x²) )+ √( 1  - ( 3 / x )+ ( 2 / x² ) ) ]

  On a :  

lim [ ( - 1 - 1 / x  ) / ( √( 1  - ( 4 / x ) +( 3 /  x²) )+ √( 1  - ( 3 / x )+ ( 2 / x² ) ) ] = - 1 / ( 1 + 1 ) = - 1 / 2

x→ ±∞              ( On peut détailler davantage )

   Or       x / | x | = 1      si   x ≥ 3

             x / | x | = - 1    si   x < 0

Donc

lim [  x / | x |   ] ×  [ ( - 1 - 1 / x  ) / ( √( 1  - ( 4 / x ) +( 3 /  x²) )+ √( 1  - ( 3 / x )+ ( 2 / x² ) ) ] = - 1 / 2

x → + ∞

et

im [  x / | x |   ] ×  [ ( - 1 - 1 / x  ) / ( √( 1  - ( 4 / x ) +( 3 /  x²) )+ √( 1  - ( 3 / x )+ ( 2 / x² ) ) ] = + 1 / 2

x → - ∞

  Conclusion :   lim f  = - 1 / 2      et     lim f = 1 / 2

                         + ∞                            - ∞