Th valeurs intermédiaires

                                                                     TS2     Novembre 2010

                   •   THEOREME  ( admis ) DES VALEURS INTERMEDIAIRES:

                       Soit une fonction définie et continue sur l'intervalle I.

                       Soit a et b deux réels dans I.

                   .  Alors f prend au moins un fois sur I chaque valeur k comprise entre f( a ) et f( b ).

                    Attention:    f peut prendre plusieurs fois la valeur k comprise entre f( a ) et f( b ).

                                       Il n'y a pas unicité.

                                      On peut dire que pour tout k entre f(a ) et f( b )  l'équation f( x ) = k

                                       admet au moins une solution dans I.

                   Situation:           Soit la fonction polynôme f : → 2 x2 - 4x + 5

                                                 f est définie et continue sur l'intervalle  I = [ - 1 ; 3 ]

                                                Soit a = 0  et  b = 2,5.

                                                alors f( 0 ) = 5  et f( 2 , 5 ) =7 , 5

                                                 Prenons une valeur k comprise entre f( a ) et f( b ).

                                                 Soit k = 7

                                               D'après le th des valeurs intermédiaires :

                                               l'équation f( x ) = 7 admet au moins une racine dans l'intervalle [ - 1 ; 3 ].


                                    th-val-intermed.jpg

           •   THEOREME  DE LA BIJECTION:

         Soit une fonction définie et continue et strictement monotone sur l'intervalle [a , b ].

          Soit k une réel compris entre f( a ) et f( b ).

         Alors f prend une et une seule fois sur [ a,b ] chaque valeur k comprise entre f( a ) et f( b ).

    ATTENTION : ON A EN PLUS LE CARACTERE STRICTEMENT MONOTONE DE f  SUR L'INTERVALLE

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