ACTIVITES: Types de raisonnements. BTS SEPT 09

             ACTIVITES DE LOGIQUE : TYPES DE RAISONNEMENTS         BTS               SEPT 09

         ACTIVITE 1

                    1.  Résoudre dans dans IR ,    x + 3 > 0   =>   x - 1 < 0.

                    2.  Traduire avec les symboles la phrase suivante: " Pour tout entier naturel n

                         on peut trouver au moins un entier naturel p tel que    n p  > 10. "

                       Exprimer ensuite la négation de cette phrase.

                    Aide:      • Si p , q sont deux propositions  p => q  s'écrit aussi Non( p ) ou q.

                                  • Pour la négation il faut changer systématiquement les

                                   quantificateurs et considérer la négation de l'inégalité.

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        ACTIVITE 2             ( Raisonnement avec la négation. )     

                                

                          1. Donner la négation de la proposition p suivante :

                                                                    

                          2. Pour établir que la proposition p est fausse établir que

                              sa négation est est vraie.

                        Aide:  Pour la négation il faut changer systématiquement les

                           quantificateurs et considérer la négationde l'inégalité.

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       ACTIVITE 3                    ( Raisonnement par l'absurde )     

                                   Soit le polynôme du second degré :

                                   P( x ) = x² + x + 1  où x est dans IR.

                            On veut montrer que x² + x + 1 ne peut pas se factoriser

                            par une expression affine a x + b  où a est un réel non nul et b un réel.

                            En raisonnant par l'absurde établir ce résultat.

                          Aide:    • On  supposera que l'on peut écrire x² + x + 1  sous la forme :

                                      x² + x + 1  = ( ax + b ) g( x ) avec  a dans IR - { 0 } et b dans IR   où

                                      g( x )  est un autre polynôme.

                                      • On pourra utiliser l'égalité  x² + x + 1  = ( x + 1 / 2 )²  + 3 / 4 pour

                                      montrer que x² + x + 1  ≠ 0  pour tout x dans IR.

                                     •  On cherchera une contradiction.

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         ACTIVITE 4        ( Raisonnement par contre exemple )    

                     Est-il vrai que ?

                     Pour tout réel x il existe un réel y tel que x / y  = 0.

                     Aide : On cherchera un réel x non nul.

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         ACTIVITE 5       ( Raisonnement par récurrence )  

                         Soit   S = 1 + 2 + 3 + ........ + 50

                 1 . En considérant que l'on a aussi :   S = 50 + 49 + 48 + ..... + 3 + 2 + 1

                      Calculer  2S puis S  .

                 2.   Soit  Sn  = 1 + 2 + ....... + n   avec n un entier naturel non nul.

                         Trouver de la même façon   Sn  .

               3. Etablir le résultat précédent à l'aide d'un raisonnement par récurrence.

                      Aide:     •    Etablir la formule pour n = 1.

                                   •    Montrer que pour tout n dans IN non  nul,

                                Si la formule est vraie pour n alors elle est vraie pour n + 1.           

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          ACTIVITE 6        ( Raisonnement par disjonction de cas  )  

                                     Etablir que   | x | ≥ 0    pour  tout x dans IR.

                             Aide:   On prendra d'abord x ≥ 0  puis x < 0.

                            On rappelle que | x | = sup ( x , - x )  pour tout réel x .

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         ACTIVITE 7         ( Raisonnement  avec l'hypothèse auxiliaire  )  

                                    Soit la suite à termes positifs  définie par :     

                                        u0 = 1

                                        un+1 = √ ( un + 1 )  pour tout n dans IN .

                                   Montrer que  pour tout n dans IN , 

                                     si  un   ≤  un+1    alors un+1   ≤  un+2  

                          Aide : On pourra utiliser le sens de variation de la fonction √ comme

                         hypothèse auxiliaire.

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