INFO ACTIV. Raisonnements .de Logique

           INFO   ACTIVITES DE LOGIQUE : TYPES DE RAISONNEMENTS         BTS               SEPT 09

         ACTIVITE 1

                    1.  Résoudre dans dans IR ,    x + 3 > 0   =>   x - 1 < 0.

                    2.  Traduire avec les symboles la phrase suivante: " Pour tout entier naturel n

                         on peut trouver au moins un entier naturel p tel que    n p  > 10. "

                        Exprimer ensuite la négation de cette phrase.

                    Aide:      • Si p , q sont deux propositions  p => q  s'écrit aussi Non( p ) ou q.

                                  • Pour la négation il faut changer systématiquement les

                                   quantificateurs et considérer la négationde l'inégalité.

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         Réponse:

                          1.  L'implication    x + 3 > 0   =>   x - 1 < 0.

                               s'écrit                x > - 3    =>   x  < 1

                               c-à-d           Non(  x > - 3  ) ou   x  < 1

                               c-à-d           x ≤ - 3     ou  x < 1

                              c-à-d          x < 1

                             Conclusion :   S_IR  = ] - ∞ , 1 [

                         2. La traduction symbolique de la phrase est :

                             La négation de cette phrase est :

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        ACTIVITE 2             ( Raisonnement avec la négation. )                                     

                         1. Donner la négation de la proposition p suivante :

                          2. Pour établir que la proposition p est fausse établir que

                              sa négation est est vraie.

                        Aide:  Pour la négation il faut changer systématiquement les

                           quantificateurs et considérer la négation de l'inégalité.

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         Réponse :

                     1. La négation de la proposition est :      

                     2. La négation est vraie: En effet on peut prendre pour a le réel

                          a = 2 x + 3 . Il convient.

                   Conclusion: La proposition au départ est fausse car sa négation est vraie.

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       ACTIVITE 3                    ( Raisonnement par l'absurde )     

                                   Soit le polynôme du second degré :

                                   P( x ) = x² + x + 1  où x est dans IR.

                            On veut montrer que x² + x + 1 ne peut pas se factoriser

                            par une expression affine a x + b  où a est un réel non nul et b un réel.

                            En raisonnant par l'absurde établir ce résultat.

                          Aide:    • On  supposera que l'on peut écrire x² + x + 1  sous la forme :

                                      x² + x + 1  = ( ax + b ) g( x )  avec a dans IR- { 0 } et b dans IR  où   

                                     g( x ) est un autre polynôme.

                                       • On pourra utiliser l'égalité  x² + x + 1  = ( x + 1 / 2 )²  + 3 / 4 pour

                                      montrer que x² + x + 1  ≠ 0 pour tout x dans IR.

                                     •  On cherchera une contradiction.

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                Réponse :

                     Montrons le résultat demandé.

                      Raisonnons par l'absurde:  Supposons le contraire.

                       C'est-à-dire spposons que l'on puisse écrire x² + x + 1 sous la forme

                        x² + x + 1 = ( a x + b ) g( x )   avec g( x ) un autre polynôme et

                        dans IR non nul et b dans IR.

                         On sait que :     a x + b = 0     ssi  x = - b / a .

                         Donc  si   x =  - b / a   alors on a     ( a x + b ) g( x ) = 0

                                                                  c-à-d          x² + x+ 1 = 0

                        Mais     x² + x + 1 = ( x + 1 / 2 )²  + 3 / 4

                         Ce qui montre que x² + x + 1  ≥  3 / 4    pour tout réel x.

                          Il est donc absurde de dire que x² + x + 1  va s'annuler quand x = - b / a.

                          Nous n'avions donc pas le droit de faire cette supposition.

                         Conclusion:  x² + x + 1 n'est pas factorisable par une expression du

                                            premier degré de la forme a x + b avec a réel non nul et b réel.

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         ACTIVITE 4        ( Raisonnement par contre exemple )    

                     Est-il vrai que ?

                     Pour tout réel x il existe un réel y tel que x / y  = 0.

                     Aide : On cherchera un réel x non nul.

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           Réponse:

                    Non: Contre exemple:  Soit x = 2  

                                2 / y ≠  0  pour tout réel y non nul.

                                2 / y     n'existe pas quand y = 0.

              Conclusion: On a bien montré que l'affirmation est fausse.

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         ACTIVITE 5       ( Raisonnement par récurrence )  

                         Soit   S = 1 + 2 + 3 + ........ + 50

                 1 . En considérant que l'on a aussi :   S = 50 + 49 + 48 + ..... + 3 + 2 + 1

                      Calculer  2S puis S  .

                 2.   Soit  S_n  = 1 + 2 + ....... + n   avec n un entier naturel non nul.

                         Trouver de la même façon   S_n  .

                3. Etablir le résultat précédent à l'aide d'un raisonnement par récurrence.

                      Aide:     •    Etablir la formule pour n = 1.

                                   •    Montrer que pour tout n dans IN non  nul,

                                Si la formule est vraie pour n alors elle est vraie pour n + 1.           

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           Réponse:    1.     S = 1 + 2 + 3 +.................. + 50

                                     S = 50 + 49 + 48 + .............+ 1

   Par sommation :     ----------------------------------------------------

                                  2 S = ( 1 + 50 ) + ( 2 + 49 ) + .......+ ( 50 + 1  )

         c-à-d         2 S =  51  +  51  + ....... +  51  

        c-à-d                         2 S = 51× 50    

                             sachant qu' il y a 50 termes égaux à 51 dans la somme.

              Donc               S = ( 51× 50 ) / 2

                            Conclusion:   S = 1275  

                              2. De la même façon on montre que :

                                 Pour tout n dans IN - { 0 }

                                       1 + 2 + .............+ n = (  n ( n + 1 )  ) / 2

                                  En effet :

                                           Soit     S = 1+ 2 + ..........................+ n

                                                       S = n + ( n - 1 ) + ...............  + 1

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                                                     2 S = ( 1 + n  ) + ( 2+ ( n - 1 ) ) + ............+ ( n + 1 )

                       c-à-d                       2 S = ( 1 + n  ) + ( ( n  + 1 ) ) + ............+ ( n + 1 )      

                                              Il y a n termes égaux à  n + 1  dans cette somme .
                     Donc                            2 S = n ( n + 1 )  

                    Donc                           S = ( n ( n + 1 ) / 2

                                      Conclusion:     S = ( n ( n + 1 ) / 2  

                              3. On peut établir aussi ce résultat par récurrence.

                                         Notons S_n =   1 + ...+ n

                                     • AMORCE.

                                        Soit  n = 1 .     

                                                 On a :           S_n   = S₀   =   1    

                                              De plus  on a  :    ( 1 ( 1 + 1 ) ) / 2   =  1

                                              Donc :     S₀   =  ( 1 ( 1 + 1 ) ) / 2  

                                             La formule est vraie pour n = 1.

                                                On a l'amorce.

                                      • CARACTERE HEREDITAIRE.

                                            Soit n dans IN - { 0 }  quelconque.

                                            Montrons que :

                          S_n = (  n ( n + 1 )  ) / 2   =>   S_{n + 1} = (  ( n + 1 ) ( n + 2 )  ) / 2

               Considérons :      S_n = (  n ( n + 1 )  ) / 2 

                           Comme on a  :     S_{n + 1} =   S_n    + n + 1

                            Il vient  :           S_{n + 1} =    (  n ( n + 1 )  ) / 2    + n + 1  

    c-à-d           S_{n + 1} =  (  n ( n + 1 )  ) / 2   + ( 2 ( n + 1 ) ) /  2 

    c-à-d          S_{n + 1} =  ( n + 1 ) ( n + 2 ) ) / 2    en factorisant n + 1.

                      On l'égalité à l'ordre n + 1  c'est-à-dire  S_{n + 1} = (  ( n + 1 ) ( n + 2 )  ) / 2

                     Le caractère héréditaire est avéré.

           Conclusion:    La formule est prouvée par récurrence sur IN - { 0 }.  

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          ACTIVITE 6        ( Raisonnement par disjonction de cas  )  

                                     Etablir que   | x | ≥ 0    pour  tout x dans IR.

                             Aide:   On prendra d'abord x ≥ 0  puis x < 0.

                            On rappelle que | x | = sup ( x , - x )  pour tout réel x .

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         Réponse:

                          Faisons une disjonction de cas.

                          • Cas :      Soit   x ≥ 0.

                             Alors  on a :     x ≥ 0  et  | x | = x

                             Donc      | x | ≥ 0.

                             • Cas :      Soit   x < 0.    

                                Alors  on a :      - x > 0   et   | x | = -  x

                                Donc    | x | ≥ 0.    

                            Conclusion ;  | x | ≥ 0  pour tout réel x.

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         ACTIVITE 7         ( Raisonnement  avec l'hypothèse auxiliaire  )  

                                    Soit la suite à termes positifs  définie par :     

                                        u₀ = 1

                                        u_n+1 = √ ( u_n + 1 )  pour tout n dans IN .

                                   Montrer que  pour tout n dans IN , 

                                     si  u_n   ≤  u_{n +1}    alors  u_{n +1}   ≤  u_n+2  

                          Aide : On pourra utiliser le sens de variation de la fonction √ comme

                         hypothèse auxiliaire.

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   Réponse:         On précise dans l'énoncé  que :  

                                    0  ≤  u_n     pour tout entier naturel n.           

                            Considérons:      u_n   ≤  u_{n + 1}  

                             Alors      1  ≤   u_n  +  1    ≤  u_{n + 1}  +  1

                             Mais on  a   l'hypothèse auxiliaire : 

                              Sur IR⁺  la fonction  f : x → √ x  croissante. 

                               Donc :    √ (  u_n   + 1 )   ≤  √  ( u_n+1  + 1  )

                           c-à-d                 u_{n + 1}   ≤  u_{n + 2}  

                                 On a bien montré le résultat.

               Conclusion :                Pour tout n dans IN , 

                                                u_n   ≤  u_{n + 1}     =>      u_{n + 1}   ≤  u_{n + 2}