INFO Devoir n° 1 BTS 1 LOGIQUE ET RAPPELS 12 OCT. 09
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1 EX. Les affirmations suivantes sont-elles des propositions?
" 2 < 5 "
" 1000 est un grand nombre "
" 500 est un entier pair "
" La fonction f : x →x² est plus simple que la fonction
g : x → | x | "
" La fonction g : x → | x | est paire "
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Réponse: • L'inégalité est une affirmation vraie. OUI.
• L'affirmation ne peut pas être déclarée vraie ni fausse. NON
• L'affirmation est vraie. OUI
• L'affirmation ne peut pas être déclarée vraie ni fausse. NON
• L'affirmation est vraie. OUI
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2 EX.
• ( n - 1 ) ( n + 2 ) ≥ 0 , où n est dans IN
est-elle une propriété ( ou prédicat ) ?
• Dans l'affirmative, est-elle vraie pour tout n dans IN ?
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Réponse: • OUI.
Dès que n est fixé dans IN on peut savoir si l'inégalité
( n - 1 ) ( n + 2 ) ≥ 0 est vraie ou fausse.
• NON: Contre exemple:
Soit n = 0 alors on a : ( n - 1 ) ( n + 2 ) = - 2
- 2 < 0.
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3 EX.
Soit la propriété: n ( n +1 ) ( n + 2 ) est divisible par 6 , où n est dans IN
Le but de l'exercice est de voir si cette
propriété est vraie sur IN.
Il faut se poser deux questions:
1. Question.
• n ( n +1 ) est-il toujours divisible par 2 pour tout n dans IN ?
• Soit n un entier naturel .
Quand on divise n par 3 , il y a trois possibilités:
•• n est divisible par 3. ( n est de la forme 3 k avec k dans IN )
•• 1 est le reste de la division de n par 3 . ( n est de la forme 3 k + 1 avec k dans IN )
•• 2 est le reste de la division de n par 3 . ( n est de la forme 3 k + 2 avec k dans IN )
Dans chacun de ces trois cas la propriété est-elle vraie ? ( DISJONCTION DE CAS )
2 . Question.
On rappelle que 2 et 3 sont premiers entre eux.
La propriété est-elle vraie pour tout entier naturel n ?
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Réponse: 1. •OUI .
n ( n +1 ) est toujours divisible par 2 pour tout n dans IN.
Montrons le par disjonction de cas.
Soit n un entier naturel .
••Cas n pair.
Alors n est divisible par 2.
Donc: n ( n + 1 ) aussi divisible par 2.
C'est-à-dire : n ( n + 1 ) est pair.
•• Cas n impair.
Ainsi n + 1 est pair .
Alors n + 1 est divisible par 2.
Donc: n ( n + 1 ) aussi divisible par 2.
C'est-à-dire : n ( n + 1 ) est pair.
•OUI .
n ( n + 1 )( n + 2 ) divisible par 3 pour tout entier naturel n.
Montrons le par disjonction de cas.
Soit n un entier naturel .
•• n est de la forme 3 k où k est un entier naturel.
Alors : n ( n + 1 )( n + 2 ) = 3 k ( 3 k + 1 ) ( 3 k + 2 )
Comme l'un des facteur est 3 on a bien n ( n + 1 )( n + 2 ) divisible par 3.
•• n est de la forme 3 k + 1 où k est un entier naturel.
Alors : n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = ( 3 k + 1 ) ( 3k + 2 ) ( 3 k + 3 )
c-à-d n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 3 ( 3 k + 1 ) ( 3k + 2 ) ( k + 1 )
Comme l'un des facteur est 3 on a bien n ( n + 1 )( n + 2 ) divisible par 3.
•• n est de la forme 3 k + 2 où k est un entier naturel.
Alors : n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = ( 3 k + 2 ) ( 3 k + 3 ) ( 3 k + 4)
c-à-d n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 3 ( 3 k + 2 )( k + 1 ) ( 3 k + 4 )
Comme l'un des facteur est 3 on a bien n ( n + 1 )( n + 2 ) divisible par 3.
2. Ainsi n ( n + 1 ) ( n + 2 ) est divisible par 2 et par 3.
Comme 2 et 3 sont premiers entre eux n( n + 1 )( n + 2 ) est divisible par 2 × 3
c'est-à-dire par 6. ( Utilisation du th de GAUSS)
Conclusion : n ( n + 1 ) ( n + 2 ) est divisible par 6 pour tout n dans IN.
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4 EX.
• Soit x et y dans IR .
Traduire ( x , y ) ≠ ( 1 ; 3 ).
• Soit x dans IR .
Traduire | x - 1 | < 2 à l'aide de connecteurs adaptés.
( On pourra représenter les réels solutions. )
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Réponse: • Soit x et y dans IR .
( x , y ) ≠ ( 1 ; 3 ) signifie x ≠ 1 ou y ≠ 3
• Soit x dans IR .
| x - 1 | < 2 à se traduit par - 2 < x - 1 < 2
c-à-d par + 1 - 2 < x - 1 + 1 < + 1 + 2
c-à-d par - 1 < x < 3
c-à-d par - 1 < x et x < 3
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5 EX .
La proposition ( 2 > 5 ) => ( 1000 est pair )
est-elle vraie ?
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Réponse: ( 2 > 5 ) est une proposition fausse.
Donc l'implication ( 2 > 5 ) => ( 1000 est pair )
est vraie.
Conclusion: L'implication est vraie.
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6 EX .
Soit n dans IN.
n pair => n3 pair ,
est-elle une propriété vraie dans IN ?
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Réponse: Soit n un entier naturel.
• Cas : n impair.
Quand n est un entier naturel impair l'implication est vraie
car " n pair" est faux.
• Cas : n pair.
Quand n est un entier naturel impair, n est divisible par 2 .
Donc n × n × n est aussi divisible par 2 , même par 8.
Donc n3 est pair .
Conclusion : L'implication est vraie pour tout entier naturel n.
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7 EX .
La proposition ( 2 < 5 ) ou ( 8 ≤ - 1 ) est-elle vraie ?
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Réponse:
( 2 < 5 ) est une proposition vraie.
( 8 ≤ - 1 ) est une proposition fausse.
Donc ( 2 < 5 ) ou ( 8 ≤ - 1 ) est une proposition vraie.
Conclusion : OUI
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