LISTE 2 EXERCICES DE LOGIQUES BTS Nov. 08
EX.1 Soit la fonction f: x → x² - 3 x + 1
1. Quels sont les antécédents de 1 par f ?
2. f est -elle une injection de IR dans IR ?
3. Développer ( x - 3 / 2 ) ² - 5 / 4.
4. - 2 admet-il un antécédent par f dans IR ?
5 . f est-elle une surjection de IR sur IR ?
------------------------------------------------------------------------------
REP. 1. Considérons pour cela f( x ) =1.
c-à-d x² - 3 x +1 = 1
c-à-d x² - 3 x = 0 c-à-d x ( x - 3 ) = 0
c-à-d x = 0 ou x = 3
Conclusion : 1 admet deux antécédents par f qui sont 0 et 3.
2. Non. f ne peut pas être une injection.
En effet.
Contre exemple.
0 ≠ 3 Or f( 0 ) = f ( 3 ) = 1
f ne conserve pas la distinction.
3. Développons ( x - 3 / 2 ) ² - 5 / 4.
( x - 3 / 2 ) ² - 5 / 4 = x² - 2 ×( 3 / 2 ) x + ( 3 / 2 )² - 5 / 4
c-à-d ( x - 3 / 2 ) ² - 5 / 4 = x² - 3 x + 9 / 4 - 5 / 4
Conclusion: ( x - 3 / 2 ) ² - 5 / 4 = x² - 3 x + 1 .
4. Regardons si f(x ) = - 2 admet une solution.
Considérons ( x - 3 / 2 ) ² - 5 / 4 = - 2
c-à-d ( x - 3 / 2 ) ² - 5 / 4 + 8 /4 = 0
c-à-d ( x - 3 / 2 ) ² + 3 / 4 = 0
C'est impossible car ( x - 3 / 2 ) ² + 3 / 4 >= 3/ 4
Conclusion : - 2 n'admet aucun antécédent par f.
4. NON. f n'est pas une surjection de IR sur IR.
- 2 par exemple n'admet aucun antécédent par f.
EX .2 Soit les ensembles E = { a , b , c , d , e } et F = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
1. Citer une bijection de E sur F.
2. Combien d'applications de E dans F y a-t-il ?
3. Combien d' injections de E dans F y a-t-il ?
-------------------------------------------------------------------------------
REP. 1. Citons une bijection de E sur F.
Soit l'application de E dans F définie par:
f( a) = 1 f( b ) = 2 f( c ) = 3 f( d ) = 4 f( e ) = 5 .
Tout élément de F admet un unique antécédent par f dans E .
L'antécédent de 1 est a.
L'antécédent de 2 est b.
etc ... .........
L'antécédent de 5 est e.
Conclusion : On a bien donné une bijection de E sur F.
2. Dénombrons les applications de E sur F.
Schéma: I 5 I 5 I 5 I 5 I 5 I
Il y a cinq images possibles pour a , cinq images possibles pour b ,
.. etc ...... ,
cinq images possibles pour e.
D'après le " principe multiplicatif " il y a 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55
applications de E dans F.
Conclusion: Il y a 3125 aplication de E dans F.
3. Dénombrons les injections de E dans F.
Schéma : I 5 I 4 I 3 I 2 I 1 I
Comme il a conservation de la distinction :
Il y a cinq images possibles pour a .
Il n'y a plus ensuite que quatre images possibles pour b .
Il n'y a plus alors que trois images possibles pour c. Puis il n'y a plus que deux images possibles pour d Enfin il n'y a plus qu'une image possible pour e. D'après le " principe multiplicatif " il y a 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! injections de E dans F. Conclusion: 120 injections sont possibles de E dans F
EX.3 Donner la négation de l'affirmation suivante:
Pour tout réel a , a² = 4 => ( a = 2 ou a = - 2 )
--------------------------------------------------------------
REP. Il existe au moins un réel a , a² = 4 et NON( a = 2 ou a = - 2 )
Conclusion: La négation est:
Il existe au moins un réel a , a² = 4 et a ≠ 2 et a ≠ - 2 .
On a utilisé le fait que la négation de p => q , est la négation de NON( p ) ou q ,
c-à-d p ET NON( q ).
EX.4 Montrer que:
Pour tout entier naturel non nul n ,
1 + .........+ n = n( n + 1 ) ) / 2 => 1 + ............+ ( n + 1 ) = ( ( n + 1 ) ( n + 2 ) ) / 2
-----------------------------------------
REP. On a : 1 + .........+ n = n( n + 1 ) ) / 2 Donc en ajoutant n + 1 à chaque membre il vient:
1 + .........+ n + ( n+ 1 ) = n( n + 1 ) ) / 2 +( n+ 1 )
Donc 1 + ............+ ( n + 1 ) = 1 + .........+ n + ( n+ 1 ) = n( n + 1 ) ) / 2 +( n+ 1 )
Par réduction au même dénominateur on a:
1 + ............+ ( n + 1 ) = ( n (n + 1 ) + 2( n + 1) ) / 2
Puis par factorisation de n + 1 on a :
1 + ............+ ( n + 1 ) =( ( n + 1 ) ( n + 2) ) / 2
Conclusion : L'implication est avérée.