INFO TEST 2 LOG BTS 1A 17/10/11

       INFO     TEST 2        LOGIQUE        17 OCT 2011       BTS1

 

  • EXERCICE 1

         1 .   Soit x dans IR .

    Traduire sans le connecteur => ( c-à-d   implique )  la propriété suivante:

                   5 x - 1 > 0   =>  x + 1 ≥  0          ( 1 )

  2.   Résoudre dans IR   ( 1 ).

  3. Donner la négation de ( 1 ).

---------------------------------------------------

Réponse:        1. Traduisons  ( 1 ) sans le connecteur " implique" .

                            Soit p , q deux propositions.

                            La proposition  p => q  ,qui se lit p implique q ,

                           équivaut à  NON( p ) OU q.

                       Ainsi :

  Conclusion :  ( 1 ) s’écrit NON ( 5 x - 1 > 0)  OU  x + 1  ≥  0  

                           avec x dans IR

                     2.   Résolvons ( 1 ).

                           ( 1 ) s’écrit :    5 x - 1 ≤ 0  OU  x  ≥  - 1

                                   c-à-d      x ≤ 1 / 5  OU   x  ≥  - 1

                                   c-à-d    x dans ] -  ∞ ,  1/ 5 ] U [ - 1 , +  ∞ [ 

                                  c-à-d    x dans IR

                        Conclusion :   S = IR   

         3.  Donnons la négation de ( 1 ).   5 x - 1 > 0   =>  x + 1 ≥  0  

                   C’est :   NON(  NON(   5 x - 1 > 0   ) OU  x + 1 ≥  0  )

                  Avec les lois de MORGAN on a :

                     5 x - 1 > 0   ET    NON( x + 1 ≥  0  )

                 c-à-d       5 x - 1 > 0   ET    x + 1 <  0

                 c-à-d      x > 1 / 5    ET   x < - 1

                c-à-d      F    La proposition toujours fausse.                 

            Conclusion : La négation de ( 1 ) est

                             5 x - 1 > 0   ET    x + 1 <  0

----------------------------------------------------------------------

• EXERCICE 2

     Soit p , q deux propositions.

    1.   Comparer à l’aide d’un tableau de vérité les propositions :

            p OU ( Non ( p ) ET  q )   ;  p     ;  p OU q

       • On peut déjà  prévoir que:    p OU ( Non ( p ) ET  q )  est

           ( p OU  NON ( p ) ) ET (  p OU  q  )   c-à-d    p OU q 

           sachant que  p OU  NON ( p )   est toujours vrai.

      • Avec un tableau de vérité comme demandé.

p

q

NON P

P OU q

NON( P ) ET q )

 p OU ( NON( P ) ET q )

 

 

0

0

1

0

0

0

 

 

0

1

1

1

1

1

 

 

1

0

0

1

0

1

 

 

1

1

0

1

0

1

 

 

   Conclusion : p OU q   équivaut à    p OU ( NON( p ) ET q )

    2.    Donner une proposition équivalente à:  p ET ( NON ( p OU q ) )

            p ET ( NON ( p OU q ) )   s’écrit    p ET ( NON ( p ) ET NON ( q )  )  

             d’après une loi de MORGAN

          c-à-d encore     p ET NON ( p ) ET NON ( q ) 

            Mais  p ET NON ( p )  est toujours fausse

          Donc

      Conclusion:    p ET ( NON ( p OU q ) )   est   F   

                   c-à-d  une proposition toujours fausse.

 ----------------------------------------------------------------

•EXERCICE 3

            Donner la négation des propositions ou propriétés :

         a.   ( x , y ) = ( - 2 ; 4 )      où x et y sont dans IR

          b.     2 > 5 => (  1000 est pair  )     ( Lire implique )

          c.   ( x + 1 ) ( x + 4 ) > 0          avec x réel.

---------------------------------------------------------

   Réponse:

  a.   ( x , y ) ≠ ( - 2 ; 4 )      où x et y sont dans IR. 

            c-à-d    x ≠  - 2  OU   y ≠   4

          b.     2 > 5 ET  (  1000 est impair  )

          c.   ( x + 1 ) ( x + 4 ) ≤ 0   

                c-à-d    ( x + 1 ) ( x + 4 ) est du signe contraire à  a = 1

                x est entre les racines   - 4 et - 1

               en les acceptant.

                c-à-d       x est dans [ - 4 ; - 1 ]

               Donc

               Conclusion :  - 4 ≤ x   et   x ≤ - 1       x réel

----------------------------------------------------------

•EXERCICE  4

         Soit la phrase «  Pour tout entier naturel n il existe un nombre réel x

                  tel que  n + 1 ≤ x   ou    x < 2 n   »

             1. Traduire de façon symbolique cette phrase.

                  negationsymbolique.gif

             2. Donner sa négation.

                 negation-symbolique2.jpg