INFO TEST LOGIQUE 15 /10/14

   Nom:                       Prénom:                Classe:   BTS1  B              Date: 15/10/14

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     • Exprimer la négation de:

       1 - x > 0     =>  3 x > - 9           où x est dans IR

                   1 - x > 0    et     3 x ≤  - 9

     • Résoudre dans IR      1 - x > 0     =>   3 x > - 9

                 1 - x ≤ 0  ou    3 x > - 9

     c-à-d    

               1 ≤ x     ou     x > - 3

     c-à-d

                  x > - 3

                       Conclusion :  SIR =  ] - 3 , + ∞ [ 

          Pour x = 3  la propriété  est-elle vraie ?

         OUI.   3 est dans l'intervalle  ] - 3 , + ∞ [ 

    • Soit p , q deux propositions.

         Comparer les propositions  suivantes:

         12u     ,       13u

  p        q     1p   2p       17u       12u      18u      13u 
 0  0  1   1           1      1       0       1
 0  1  1  0           0      0       1       0
 1  0  0  1           0      1       0       1
 1  1  0  0           1      1       0       1

       Conclusion:   Les deux propositions sont logiquement équivalentes

 • Exprimer la négation  de l'affirmation:

           Pour tout réel A  il existe au moins un entier naturel n tel que  2 n + 3 ≤ A

           Il existe au moins un réel A tel que pour tout entier naturel n on ait  2 n + 3 > A  

  • Soit p , q , r    trois propositions.

         Comparer les propositions  p ou (  q et r )  ,   ( p ou q ) et ( p ou  r )  

   p         q          r             q et r          
   p ou (  q et r )       p ou q     
    p ou r      
     ( p ou q ) et ( p ou  r )  
 0  0  0       0           0         0        0                    0
 0  0  1        0            0         0         1                    0
 0  1  0        0            0         1        0                     0 
 0  1  1        1            1         1         1                    1 
 1  0  0        0           1         1         1                    1 
 1  0  1        0           1         1          1                    1 
 1  1  0        0           1         1          1                    1 
 1  1  1        1           1         1         1                    1 

    Conclusion:

               Les deux propositions sont logiquement équivalentes

  ( On admettra pour la suite que les propositions

       p et ( q ou r )       ,   (  p et q ) ou  ( p et r )

       sont logiquement équivalentes. )

   •   Soit p , q deux propositions.

                 p ↓ q    signifie  

                        14u 2

         Comparer  les deux  propositions    p ↓ q 

                16u

          On part de :

                 16u   

           qui s'écrit     

              21u 1

              c-à-d       

                       22u 1  

            c-à-d 

               14u 2     d'après une loi de Morgan

            c-à-d    

                      p ↓ q 

           Conclusion : Les deux propositions sont logiquement équivalentes.

    •  Ecrire en écriture symbolique ( c-à-d avec des quantificateurs) :

            " Pour tout réel x il existe un réel positif a tel que   2 a < x  "

                   30u

        Cette affirmation est-elle vraie ?  ( Justifier )

          NON     contre exemple :

                  Soit    x = - 2  .      Aucun réel positif  ne peut lui être inférieur .

  • Donner la négation des affirmations suivantes:

         " Tout entier naturel est divisible par 2"

               Il existe au moins un entier non divisible par 2

      "Je peux trouver un entier naturel n qui n'est pas multiple de 3"

           " Je ne peux pas trouver un entier naturel n  qui n'est pas multiple de 3"

    •  Soit a , b deux nombres réels.

              Traduire la propriété       ( a , b ) ≠ ( 2 , 5 ) en utilisant des connecteurs:

                                     a ≠ 2     ou     b ≠  5