INFO TEST LOGIQUE 5 / 11 / 14

              INFO TEST     4 novembre 2014  BTS1A  

  • Exprimer la négation de:

       1 + x > 0     =>  3 x >  9           où x est dans IR

                   1 + x > 0    et     3 x ≤   9   

     • Résoudre dans IR      1 + x > 0     =>   3 x >  9

                 1 + x ≤ 0  ou    3 x >  9

     c-à-d    

               x ≤ − 1     ou     x >  3

     c-à-d             

                       Conclusion :  SIR = ] - ∞ , - 1 ] U ]  3 , + ∞ [ 

          Pour x = 4  la propriété  est-elle vraie ?

         OUI.        En effet 4 est dans l'intervalle  ]  3 , + ∞ [ 

    • Soit p , q deux propositions.

         Comparer les propositions  suivantes:

         12u     ,       13u

  p        q     1p   2p       17u       12u      18u      13u 
 0  0  1   1           1      1       0       1
 0  1  1  0           0      0       1       0
 1  0  0  1           0      1       0       1
 1  1  0  0           1      1       0       1

       Conclusion:   Les deux propositions sont logiquement équivalentes

 • Exprimer la négation  de l'affirmation:

           Il existe au moins un réel A  tel que pour tout entier naturel n   2 n + 3 > A

          Pour tout réel A il existe au moins un entier naturel n tel que   2 n + 3 ≤ A  

  • Soit p , q , r    trois propositions.

         Comparer les propositions  p ou (  q et r )  ,   ( p ou q ) et ( p ou  r )  

   p         q          r             q et r          
   p ou (  q et r )       p ou q     
    p ou r      
     ( p ou q ) et ( p ou  r )  
 0  0  0       0           0         0        0                    0
 0  0  1        0            0         0         1                    0
 0  1  0        0            0         1        0                     0 
 0  1  1        1            1         1         1                    1 
 1  0  0        0           1         1         1                    1 
 1  0  1        0           1         1          1                    1 
 1  1  0        0           1         1          1                    1 
 1  1  1        1           1         1         1                    1 

    Conclusion:

               Les deux propositions sont logiquement équivalentes

  ( On admettra pour la suite que les propositions

       p et ( q ou r )       ,   (  p et q ) ou  ( p et r )

       sont logiquement équivalentes. )

   •   Soit p , q deux propositions.

                 p ↓ q    signifie  

                        14u 2

         Comparer  les deux  propositions    p ↓ q 

                16u

          On part de :

                 16u   

           qui s'écrit     

              21u 1

              c-à-d       

                       22u 1  

            c-à-d 

               14u 2     d'après une loi de Morgan

            c-à-d    

                      p ↓ q 

           Conclusion : Les deux propositions sont logiquement équivalentes.

    •  Ecrire en écriture symbolique ( c-à-d avec des quantificateurs) :

            "Il existe au moins un réel x tel que pour tout réel réel positif a   x < 2 a  "

                   1n

        Cette affirmation est-elle vraie ?  ( Justifier )

          OUI    

                  Soit    x = - 2  .      Pour tout réel a positif   on a  x < 2 a.

  • Donner la négation des affirmations suivantes:

         " Tout entier naturel est divisible par 5 "

               Il existe au moins un entier naturel non divisible par 5

      "Je peux trouver un entier naturel n qui n'est pas pair "

           " Je ne peux pas trouver un entier naturel n  qui ne soit pas  pair "

    •  Soit x , y deux nombres réels.

              Traduire la propriété       ( x , 2 y ) ≠ ( 2 , 5 ) en utilisant des connecteurs:

                                     x ≠ 2     ou     2 y ≠  5

            c-à-d          x ≠ 2     ou      y ≠  2,5

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