LOGIQUE ELEMENTAIRE 2

 SUITE DE LA LECON :  LOGIQUE ELEMENTAIRE 1 .            BTS                1S          TS  

           32 . INJECTION ( ou application injective) d'un ensemble E dans un ensemble F.

                  Soit E et F deux ensembles.

                 Soit f une fonction de E dans F.

               f est une INJECTION DE E DANS F quand:

                • ∀ x dans E ∃! y dans F , f( x ) = y.

                • ∀ x dans E ∀ y dans F ,  f( x ) = f( y )  => x = y .

          Ainsi une application de E dans F qui conserve" la distinction" est une injection

          de E dans F.

              33. EX.    Soit la fonction f : x → 2 x + 1 est une   injection de IR dans IR.

                        En effet:

                        • ∀ x dans IR  ∃! y dans IR ,  2 x + 1  = y.

                        • ∀ x dans IR ∀ y dans IR ,  2 x + 1  = 2 y + 1    => x = y .  ( immédiat )

              34. SURJECTION D' UN ENSEMBLE E SUR UN ENSEMBLE F.

                   ( ou application surjective d'un ensemble E sur un ensemble F)

                        Soit E et F deux ensembles.

                        Soit f une fonction de E dans F.

                      f est une SURJECTION DE E SUR F quand:

                          • ∀ x dans E ∃! y dans F , f( x ) = y.

                         •  • ∀ y dans F  ∃ x dans E ,  y = f( x ) .  ( Existence d'au moins un antécédent pour

                                                                                          chaque élément de F . )

              36.EX . La fonction f de l'exemple précédent est une surjection de IR sur IR.

                            En effet:

                              • ∀ x dans IR  ∃! y dans IR ,  2 x + 1  = y.

                              • ∀ y dans IR  ∃ x dans IR  ,  y = 2 x + 1 .

                                                           (  x = ( y - 1 ) / 2 convient. )

              37 . BIJECTION D' UN ENSEMBLE E SUR UN ENSEMBLE F .

                        C'est une fonction f à la fois injection et surjection de E sur F.

                        Cela se traduit par:

                              • ∀ x dans E  ∃! y dans F , f( x ) = y.

                              • ∀ y dans F  ∃! x dans E ,  y =f( x ) . ( Existence et unicité d'un antécédent pour

                                                                                          chaque élément de F . )

               38. EX . La fonction f des exemples précédents est une bijection de IR sur IR.

                                 • ∀ x dans IR  ∃! y dans IR ,  2 x + 1  = y.

                                 • ∀ y dans IR  ∃! x dans IR  ,  y = 2 x + 1 .

                                            (      x = ( y - 1 ) / 2   est cet unique antécédent de y. )          

 

 

 

               39.  LOIS DE MORGAN .

                    Soit p , q deux propositions.

                   NON ( p ET q )  équivaut logiquement à  ( NON p ) OU  ( NON q )

                   NON ( p OU q )  équivaut logiquement à  ( NON p)  ET  (NON q )

                              ( Il suffit de comparer les tableaux de vérité pour le voir.)

p q NON p NON q  ( p ET q ) NON ( p ET q )
0 0 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0

 

p q NON p NON q (NON p ) OU (NON q )
0 0 1 1 1
0 1 1 0 1
1 0 0 1 1
1 1 0 0 0

                40 . PROPRIETE.

                         Soit p , q , r des  propositions.

                         p ET ( q OU r ) équivaut à  ( p ET q ) OU ( p ET r )

                          p OU ( q ET r ) équivaut à  ( p OU q ) ET ( p OU  r )

                        ( Il suffit de comparer les tableaux de vérité pour le voir.)

p q r q ET r p OU ( q ET r )
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1

 

p q r p OU q P OU r ( p OU q ) ET ( P OU r )
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1