INFO TEST BTS PROBA. V.A.R. 30 Mars 2010
EXERCICE 1.
Une grande marque automobile TAYOTO produit des voitures
qui sont souvent encore inachevées au moment de la livraison.
Ainsi les années passées 25% des véhicules ont du bénéficier d'un rappel
pour mauvais fonctionnement de quelques organes comme les freins, la direction ou le régulateur de vitesse. Un concessionnaire a livré 36 clients au mois de mars. On admet que les rappels sont indépendants. Soit X la variable aléatoire qui indique le nombre de véhicules qui vont devoir,
sous peu, revenir au garage pour réparation.
1. Donnons la loi suivie par la variable aléatoire X.
On répète 36 fois une épreuve de Bernoulli dont les deux issues sont
« Rappel » et « Pas Rappel » avec p = 0,25 la probabilité de « Rappel ».
X indique le nombre de « Rappel ».
Donc :
Conclusion : X suit la loi binomiale de type B( 36 ; 0,25 )
2. Donnons le nombre de rappels auquel doit s’attendre le concessionnaire.
Il s’agit de l’espérance de X.
Comme X est de binomiale de paramètre n =36 et p = 0,25
on a :
E( X ) = 36
Conclusion : Le concessionnaire peut estimer que 9 véhicules vont revenir.
3. Calculons P( X ≥ 2 ).
On a :
P( X ≥ 2 ) = 1 - P( X = 0 ) - P( X = 1 )
c-à-d
P( X ≥ 2 ) = 1 - C360 0,250 ×
Ainsi :
Conclusion : P( X ≥ 2) ≈ 0,9995
Calculons P( 2 < X < 5 ) .
On a : P( 2 < X < 5 ) = P( X = 3 ) + P( X = 4 )
c-à-d
P( 2 < X < 5 ) = C363 0,253 ×
Conclusion : P( 2 < X < 5 ) ≈ 0,03151
4. Donnons la probabilité que le constructeur ait déboursé 4750 euros.
On a : 4750 = 950 × 5
Ce coût de 4750 euros correspond à un rappel de 5 voitures.
La probabilité cherchée est donc P( X = 5 ).
Or
P( X = 5 ) = C36 5 0,255 × 0,7531
Conclusion : P( X = 5 ) ≈ 0,0493
5.a. Donnons le paramètre
L’espérance de Y est le paramètre λ de Y.
E( Y ) = λ
X et Y doivent avoir la même espérance.
Donc λ = E( X ).
Conclusion : λ = 9
b. Donnons P( Y = 5 ).
D'après la table de Poisson on a à l'intersection de la colonne de λ = 9
avec la ligne de k = 5:
Conclusion : P( Y = 5 ) ≈ 0,061
c. Trouvons P( Y < 5 ).