INFO TRAVAIL ORDI BTS loi bin

   INFO TRAVAIL SUR ORDI      LOI BINOMIALE             AVRIL 09   BTS1

NOM:  ..........        PRENOM :  .............    CLASSE:   BTS1A  DATE:   27/ 04/09

    • Une alarme se déclanche à tort dans 15% des cas. 5 alarmes se sont déclanchées durant la nuit,  

   de façon indépendante.

   Soit X la v.a.r. qui indique le nombre d'alarmes déclanchées à tort.

  •• Quelle est la loi de X ?

     On répète cinq fois , de façon indépendante, une épreuve de Bernouilli

    dont les deux issues sont " déclanchée  à tort "  , " déclanchée non à tort".

    La probabilité de " déclanchée  à tort "  est de 0,15.

    La probabilité de  " déclanchée non à tort" est de  1 - 0,15 = 0, 85.

      X  indique le nombre de " déclanchée  à tort " .

         Ainsi:

         Conclusion:

              X  suit donc la loi binomiale B( 5 ; 0,15 ).

             Les paramètres sont:       n = 5      p = 0,15

   •• Calculer:  P( X = 1 ) = C5 1   0,151 × 0,855 - 1  .

          c-à-d      P( X = 1 ) = 5  ×  0,15 × 0,854  .

          Conclusion :     P( X = 1 ) ≈ 0,391

      •• Calculer : P( X =< 2) =  P( X = 0 )+ P( X = 1 ) + P( X = 2 )

          On a :         P( X = 0 ) =  C5 0   0,15 0   × 0, 855   =   0, 855          P(X = 0 ) ≈ 0,44371

                            P ( X = 1 ) = 5  ×  0,15 × 0,854                                 P( X = 1 )  ≈ 0,3915                      

                            P( X = 2 )   = C52   0,15 2   × 0, 853                           P( X = 2 ) ≈   0,13818

         En sommant membre à membre on obtient:

           Conclusion:       P( X =< 2)  ≈   0,9734

  On pouvait raisonner en passant à l'événement contraire, en disant

      P( X=< 2 ) = 1 - P( X > 2 ) = 1 - (   P( X = 3 ) + P( X = 4 ) + P( X = 5 ) )

 ••Compléter le tableau

n                        0       1     2        3     4       5
P( X = n )     0,444      0,391            0,138      0,0244                       0,002                         0,0000759                    

 P( X = 3 ) = C53   0,15 3   × 0, 855 - 3                            P( X = 3 ) ≈  0,02438                       

  P( X = 4 )  = C54   0,15 4   × 0, 855 - 4                           P( X = 4 ) ≈   0,00215                    

  P( X = 5 ) = C55   0,15 5   × 0, 855 - 5   = 0,15 5                   P( X = 5 )  ≈  0,0000759                   

  

  •• Faire le diagramme à bâtons:( n en abscisse et P( X = n ) en ordonnée.)

                                        

  ••  Calculer : E( X ) =    n p

                    E( X ) = 5 × 0,15 = 0,75

       Conclusion:             E( X ) =  0,75    

  •• Calculer  : V( X )=    n p q

                 V( X ) =  5 × 0,15  × 0,85 = 0,6375

       Conclusion:             V( X ) =  0,6375

•• Calculer: σ( X ) =   √( n p q )

           σ( X ) = √( 0,6375 )

           Conclusion:             V( X )  ≈ 0,7984

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