RAPPEL SUR LES VARIABLES ALEATOIRES DE LOI BINOMIALE B( n ; p ) AVRIL 09 BTS1
• VARIABLE ALEATOIRE DE LOI BINOMIALE
On répète n fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli dont
l'isssue " Succès" a pour probabilité p et l'issue " Echec" a pour probabilité q = 1 - p .
( n est un entier naturel non nul. )
Soit X la v.a.r. qui associe à chaque série de n issues le nombre de " Succès".
X suit une loi binomiale B ( n ; p ) de paramètres n et p.
Pour tout entier k compris entre 0 et n on a:
P( X = k ) = C nk pk qn - k
L'espérance est : E( X ) = n p
La variance est : V( X ) = npq
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• Explication.
Considérons une branche d'arbre où ily a d'abord K fois " S " puis n - k fois " E ".
---- S ----- S --- ------S ----E ---- E ----- E
Pour la probabilité de la branche on a d'abord k fois le facteur p puis ( n - k ) fois
le facteur q .
La probabilité de la branche est donc pk qn - k .
Chaque branche comportant k fois le " S " et ( n- k ) fois le " E " , dans
n'importe quel ordre , a cette probabilité.
Or il y a C nk branches avec k fois le " S " et ( n- k ) fois le " E " .
Comme k varie de 0 à n , la probabilité de ( X = k ) est donc C nk pk qn - k
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