COURS: VAR DE LOI DE POISSON

        Mathématiques approfondies BTS SIO 

              Rappel :

           Vous avez déjà rencontré une variable aléatoire X de loi binomiale B( n ; p ).

           n est le nombre de fois que l'épreuve de Bernoulli à deux issues

          «  succès » , «  échec » est  répétée de façon indépendante.

          p est la probabilité de «  succès » de l'épreuve de Bernoulli.

           X est le nombre de «  succès » parmi les n «  succès «  ou «  échec ».

           E( X ) = n p Var(X ) = n p ( 1 – p )

            Pour tout entier naturel k entre 0 et n on a :

                      Binomiale

              ( loi de probabilité de X )

            Par exemple :     24 étudiants passent un examen.

                                          X est le nombre de «  reçu ».

                                         On admet que la probabilité de «  succès » est 83 %.

                                       ( On admet que cela s'apparente à la répétition n fois  

                                          de façon indépendante d'une épreuve de Bernoulli dont les

                                         issues sont " Admis " de probabiité 83 % et " Refusé " . )

                                          X est dite de loi binomiale B( 24 ; 83 % ).

                                          Pour  calculer P( X = 17 ) on utilise la formule précédente 

                                        ou directement la calculatrice.

                                          On admet que quand n dépasse 30 la loi binomiale est invalide.

         •  Variable aléatoire réelle de Loi de Poisson  

                                             Soit  Y  une v.a.r  qui prend comme valeurs, tous  les entiers naturels.

                                             Elle est dite de Poisson de paramètre λ > 0 quand sa loi de probabilité est 

                                              caractérisée par:

                                             P ( Y = k ) = ( e- λ   λk  ) / k!    pour tout entier naturel k .                                          

                                             On a :    E ( Y ) = V ( Y ) = λ 

                                           On peut utiliser, par ailleurs,  une table de Poisson pour calculer

                                          certaines probabilités.

 

k \  λ 1 1,5 2
0 0,368 0,223 0,135
1 0,368 0,335 0,271
2 0,184 0,251 0,271

                         Par exemple , P( Y = 1 )  quand λ = 2   est   0,271

 

          •    APPROCHE D'UNE LOI BINOMIALE PAR UNE LOI DE POISSON.                         

                                 La variable aléatoire X de loi binomiale B( n ; p ) ,

                                 quand n est au moins 30 et  p proche de 0 ,

                                 peut être approchée par la variable aléatoire réelle   Y  de loi de

                                 Poisson de paramètre λ = n p  .

                                    (   X et Y ont alors les mêmes espérances. )

                                  Y est à valeurs dans l'ensemble des entiers naturels.

                                  Sa loi est alors caractérisée par:

                                       P ( Y = k ) = ( e − λ   λk  ) / k!    pour tout entier naturel k .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------